速览
本页提供数学一 2014—2024 年历年真题：按年份整理的原卷与解析资料，含 PDF 下载，适合冲刺阶段套卷模拟。
数学一历年真题原题库
本页用于配合数学页面各章节的“真题速查”。先看章节考点，再按年份展开原题；做完后回到知识点分类复盘。
资料说明：原题来自工作区提供的数学一真题 PDF。部分年份是扫描图片版，无法直接提取文字，但仍保留原始 PDF 入口。
2014 年数学一原题
2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析(完
整精准版)
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。
（1）下列曲线中有渐近线的是
1
（A） y = x + sin x . (B) y = x 2 + sin x . (C) y = x + sin . (D)
x
1
y = x 2 + sin .
x
1
x + sin
f ( x) x = lim(1 + 1 sin 1 ) = 1
【解析】 a = lim = lim
x →∞ x x →∞ x x →∞ x x
1 1
b = lim[ f ( x) − ax] = lim[ x + sin − x] = lim sin = 0
x →∞ x →∞ x x →∞ x
1
∴y=x 是 y=x+ sin 的斜渐近线
x
【答案】C
(2)设函数 f ( x ) 具有 2 阶导数， g ( x ) = f ( 0 )(1 − x ) + f (1) x ,则在区间[0，1]上（ ）
（x）≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) .
(A)当 f ′ （x）≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )
(B)当 f ′
（x）≥ 0 时， f ( x ) ≥ g ( x ) .
(C)当 f ′ (D)当 f ′ ≥ 0 时， f ( x ) ≤ g ( x )
【解析】当 f ″ ( x ) ≥ 0 时， f ( x ) 是凹函数
( )
而 g ( x ) 是连接 0, f ( 0 ) 与（1, f (1)）的直线段，如右图
故 f ( x) ≤ g ( x)
【答案】D
1− y
(3)设 f ( x, y ) 是连续函数，则
1
∫ dy ∫
0 − 1− y 2
f ( x, y ) =
1 x −1 0 1− x 2
（A） ∫ dx ∫
0 1
f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
−1 0
f ( x, y )dy .
1 1− x 0 0
（B） ∫ dx ∫
0 0
f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
−1 − 1− x 2
f ( x, y )dy .
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
π 1
π 1
（C） ∫ dθ ∫ cosθ +sinθ f (r cosθ , r sin θ )dr + ∫π dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )dr.
0
2
0
2
0
π 1
π 1
（D） ∫ dθ ∫ cosθ +sinθ f (r cos θ , r sin θ )rdr + ∫π dθ ∫ f (r cos θ , r sin θ )rdr.
0
2
0
2
0
【解析】积分区域如图
0≤y≤1.
− 1− y2 ≤ x ≤ 1− y
π
用极坐标表示，即：D1: ≤θ ≤π, 0 ≤ r ≤1
2
π 1
D2: 0 ≤ θ ≤ , 0≤r ≤
2 cos θ + sin θ
【答案】D
（ 4 ） 若 ∫ π ( x − a cos x − b sin x) dx = min {∫ π ( x − a cos x − b sin x) dx
π
−
1 1
2
a ,b∈R
π
−
2
} ， 则
a1 cos x + b1 sin x =
（A） 2π sin x . (B) 2 cos x . (C) 2π sin x . (D) 2π cos x .
π
【解析】令 Z ( a, b) = ∫ π ( x − a cos x − b sin x) dx
2
−
Z a′ = 2 π−π ( x − a cos x − b sin x)(− cos x)dx = 0
∫ (1)
Zb′ = 2∫ −π ( x − a cos x − b sin x)(− sin x)dx = 0
π
(2)
由（1）得 2a ∫ π0 cos 2 xdx = 0 故 a = 0, a1 = 0
π
由（2）得
∫ x sin xdx = 2
b= π
0
b1 = 2
∫ sin xdx
2
0
【答案】A
0 a b 0
a 0 0 b
(5)行列式 =
0 c d 0
c 0 0 d
。
（ad-bc）2
（A） （B）-（ad-bc）2 （C）a2d2-b2c2. (D)b2 c2-a2 d2
0 a b 0
a b 0 0 a b
a 0 0 b 4 +1 4+ 4
【解析】 按第4行展开 c(−1) 0 0 b + d (−1) a 0 0
0 c d 0
c d 0 0 c d
c 0 0 d
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
a b a b
= −c ⋅ b(−1)3+ 2 + d ⋅ a ⋅ (−1)2+1
c d c d
= (ad − bc) ⋅ bc − ad (ad − bc)
= (ad − bc)(bc − ad ) = −(ad − bc) 2
【答案】B
(6) 设 α1 ， α 2 ， α 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k , l，向量组 α1 + kα 3，α 2 + lα 3 线性无
关是向量组 α1 ， α 2 ， α 3 线性无关的（ ）
（A）必要非充分条件. (B)充分非必要条件.
（C）充分必要条件. (D)既非充分也非必要条件.
1 0
【解析】由 (α 1 + kα 3, α 2 + lα 3) = (α 1, α 2, α 3) 0 1 知，
k l
1 0
当 α 1, α 2, α 3 线性无关时，因为 ≠0
0 1
所以 α 1 + kα 3, α 2 + lα 3 线性无关
反之不成立 如当 α 3 = 0 , α 1 与 α 2 线性无关时， α 1, α 2, α 3 线性相关
【答案】A
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=0.5，P(A-B)=0.3，则 P(B-A)=（ ）
（A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
【解析】P（A-B）=P（A）-P(AB)
∵A 与 B 相互独立
∴P（AB）=P（A）P（B）
∴P（A-B）= P（A）- P（A）P（B）=P（A）[1-P（B）]=0.3
P（A） （1-0.5）=0.3
∴P（A）=0.6 P（AB）=P（A）P（B）=0.6×05=0.3
∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2
【答案】B
（8）设连续性随机变量 X1 与 X2 相互独立，且方差均存在，X1 与 X2 的概率密度分别为 f（
1 x）
1
与 f 2 ( x ) ， 随 机 变 量 Y 1 的 概 率 密 度 为 fY 1 ( y ) = [ f1 ( y ) + f 2 ( y )] ， 随 机 变 量 Y2=
2
1
( X 1 + X 2 ) .则（ ）
2
(A)EY1>EY2，DY1>DY2 (B)EY1=EY2，DY1=DY2
(C)EY1=EY2，DY1<DY2 (D)EY1= EY2，DY1>DY2
∞ 1 1 1 +∞ 1 +∞
【解析】 EY1 = ∫ y[ 2 f ( y) + 2 f ( y)]dy = 2 ∫ yf ( y)dy + 2 ∫ yf ( y)dy
−∞
1 2
−∞
1
−∞
2
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
1 1
=
EX 1 + EX 2
2 2
1 1 1
EY2 = E[ ( X 1 + X 2 )] = EX 1 + EX 2
2 2 2
∴ EY1 = EY2
+∞
2 1 1 1 1
EY12 = ∫ y 2 f ( y) + 2 f ( y)dy = 2 EX + 2 EX
2 2
1 2 1 2
−∞
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
DY1 = EX 12 + EX 22 − EX 1 + EX 2 = EX 12 + EX 22 − ( EX 1 )2 − ( EX 2 )2 − EX 1 EX 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2
1 1 1 1 1
= DX 1+ DX 2+ EX 12 + EX 22 − EX 1 EX 2
4 4 4 4 2
1 1 1 1 1 1
DX 1 + DX 2 + EX 12 + EX 22 − 2 E ( X 1 X 2 ) = DX 1 + DX 2 + E ( X 1 − X 2 ) 2
=4 4 4 4 4 4
1 1 1
DY 2 = D ( X 1 + X 2 ) = DX 1 + DX 2
2 4 4
∴ DY 1> DY 2
【答案】D
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
（9）曲面 z = x（1 − sin y）+ y (1 − sin x ) 在点（1，0，1）处的切平面方程为
2 2
.
[2 x(1 − sin y ) − y 2 cos x]
【解析】在点（1，0，1）处， z x = =2
(1,0,1) (1, 0,1)
[− x 2 cos y + 2 y (1 − sin x)]
zy = = −1
(1,0,1) (1, 0,1)
切平面方程为 z x ( x − 1) + z y ( y − 0) + (−1)( z − 1) = 0
即 2x − y − z − 1 = 0
（10）设 f ( x ) 是周期为 4 的可导奇函数，且 f ′ （x − 1）, x ∈ [0, 2], 则f (7) =-
（x）= 2
.
【解析】∵ f (x) 是周期为 4 的可导函数
∴ f (7) = f (3) = f (−1) = − f (1) 且f (0) = 0
又 f ′( x) = 2( x − 1) ∴ f ( x) = x 2 − 2 x + c 将f (0) = 0代入得C = 0
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
∴ f ( x) = x 2 − 2 x x ∈ [0,2]
∴ f (1) = −1 从而f (7) = − f (1) = 1
（11）微分方程 xy + y ( ln x − ln y ) =0 满足条件 y(1)=e3 的解为 y=__________.
t
x
【解析】 xy ′ + y (ln x − ln y ) = 0 即 xy ′ + y ln = 0 两边同除 x 得
y
y x
y′ + ln = 0
x y
y dy du
令u = ， 则 y = xu ， =u + x 代入上式得
x dx dx
du 1
u+x + u ln = 0 整理得
dx u
du 1
= dx 两端积分得
u (ln u − 1) x
du 1
∫ u(ln u − 1) = ∫ x dx + ln C
d (ln u − 1) 1
∫ ln u − 1 = ∫ x dx + ln C
ln u − 1 = cx
u = ecx +1
y = xecx +1
将y (1) = e3代入上式得C = 2
∴ y = xe 2 x +1
（12）设 L 是柱面 x + y = 1 与平面 y + z = 0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时
2 2
针方向，则曲面积分 [ ]zdx + ydz =___________. ∫
x = cos t
【解析】令 y = sin t t : [0,2π]
z = − sin t
2π
∴ ∫
L
zdx + ydz = ∫ [− sin t (− sin t ) + sin t (− cos t )]dt
0
2 π 1 − cos 2t 2π
= ∫0 2
dt + ∫ (− sin t )d sin t
0
=π+0=π
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
（13）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x 1 − x 2 + 2ax1 x3 + 4x2 x3 的负惯性指数是 1,则 a 的取值范围
2 2
_________.
1 0 a
【解析】 A = 0 −1 2
a 2 0
因为 λ1 + λ 2 + λ 3 = 0, λ 1 + λ 2 + λ 3 =| A |, 负惯性指数为 1
∴设 λ1 < 0, 从而 λ 2λ 3 ≥ 0
∴| A |≤ 0
① 若 | A |< 0 ，则 λ1 < 0, λ 2 > 0, λ 3 > 0. 此时符合题意而 A = a − 4
2
∴ a 2 − 4 < 0. 即-2<a<2.
② 若 A = 0 ,则 λ1 < 0, λ 2 > 0, λ 3 = 0, 此时 a = ±2
1 0 2 λ −1 0 2
当a = 2时 A = 0 −1 2 λE − A = 0 λ + 1 −2 = λ (λ + 3)(λ − 3)
2 2 0 −2 −2 λ
λ1 = −3, λ 2 = 3, λ 3 = 0
∴ a = 2 符合题意
1 0 −2 λ −1 0 2
当 a=-2 时 A = 0 −1 2 λΕ − A = 0 λ + 1 −2 = λ (λ + 3)(λ − 3)
−2 2 0 2 −2 λ
λ1 = −3, λ 2 = 3, λ 3 = 0 符合题意
综上，a 的取值范围是 −2 ≤ a ≤ 2
2x
（14）设总体 X 的概率密度为 f(x, θ )= 3θ 2 ,θ < x < 2θ ，其中 θ 是未知数，X1,X2,…,Xπ
0, 其他
n
为来自总体 X 的简单样本，若 c ∑ x 是 θ 的无偏估计，则 c=_________.
i =1
2
2x 2 1 2
【解析】 Ε( X ) =
2
∫θ
2θ
x2 ⋅ dθ = 2 ∫ θ2θ x3dx = ⋅ 2 x 4 θ2θ
3θ 2
3θ 4 3θ
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
1 5
= ⋅15θ 4 = θ 2 .
6θ 2
2
n n
5 2
Ε(C ∑ X i2 ) = C ∑ Ε( X i2 ) = C ⋅ n ⋅ θ 2 ⇒ C = .
i =1 i =1 2 5n
三、解答题：15～23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、
证明过程成消算步骤.
（15）
（本题满分 10 分）
1
x
∫ [t (e t − 1) − t ]dt
2
1
求极限 lim 。
x → +∞ 1
x ln(1 + )
2
x
1 1 1
x x
∫ [t (e − 1) − t ]dt ∫ [t (e − 1) − t ]dt
2 t 2 t
【解】 lim 1
= lim 1 ⋅ x
x → +∞ 1 x → +∞ x 1
x ln(1 + )
2
ln(1 + )
x x
1
x
∫ [t (e t − 1) − t ]dt
2 1
= lim 1 = lim [ x 2 (e x − 1) − x]
x → +∞ x x → +∞
et − 1 − t et − 1 1
1
1
= lim x (e − 1 − ) = lim
2 x
= lim = 。
x → +∞ x t →0 t2 t →0 2t 2
（16）
（本题满分 10 分）
设函数 y = f (x) 由方程 y 3 + xy 2 + x 2 y + 6 = 0 确定，求 f (x) 的极值。
【解】由 y + xy + x y + 6 = 0 得
3 2 2
dy dy dy
3y2 + y 2 + 2 xy + 2 xy + x 2 = 0 ，解得
dx dx dx
dy 2 xy + y 2 dy x = 1
=− 2 ，由 = 0 得 y = −2 x ，代入原式得 。
x + 2 xy + 3 y y = −2
2
dx dx
dy dy dy dy
(2 y + 2 x + 2 y )( x 2 + 2 xy + 3 y 2 ) − (2 xy + y 2 )(2 x + 2 y + 2 x + 6 y )
d2y dx dx dx dx
=−
dx 2 ( x + 2 xy + 3 y )
2 2 2
x = 1 d2y 4
将 代入得 = > 0 ，故 x = 1 为最小点，最小值为 y = −2 。
y = −2 dx 2 9
（17）
（本题满分 10 分）
设函数 f (u ) 二阶连续可导， z = f (e x cos y ) 满足
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
∂2z ∂2z
+ = (4 z + e x cos y )e 2 x ，
∂x 2 ∂y 2
若 f (0) = 0, f ′(0) = 0 ，求 f (u ) 的表达式。
【解】
∂z ∂z
= e x cos y ⋅ f ′ ， = −e x sin y ⋅ f ′ ，
∂x ∂y
∂2z ∂2z
= e x
cos y ⋅ f ′ + e 2x
cos 2
y ⋅ f ′′ ， = −e x cos y ⋅ f ′ + e 2 x sin 2 y ⋅ f ′′ ，
∂x 2
∂y 2
∂2z ∂2z
+ 2 = e 2 x f ′′ ，
∂x 2
∂y
∂2z ∂2z
令 u = e cos y ，由 2 + 2 = (4 z + e cos y )e 得
x x 2x
∂x ∂y
f ′′(u ) = 4 f (u ) + u ，或 f ′′(u ) − 4 f (u ) = u ，
− 2u 1
解得 f (u ) = C1e + C 2 e 2u − u ，
4
C1 + C 2 = 0
1 1
由 f (0) = 0, f ′(0) = 0 得 1 ，解得 C1 = − , C 2 = ，
− 2C1 + 2C 2 − 4 = 0 16 16
1 −2u 1
故 f (u ) = − (e − e 2 u ) − u 。
16 4
（18）
（本题满分 10 分）
设 Σ 为曲面 z = x + y ( z ≤ 1) 的上侧，计算曲面积分
2 2
I = ∫∫ ( x − 1) 3 dydz + ( y − 1) 3 dzdx + ( z − 1)dxdy 。
Σ
，取下侧，其中 Σ 与 Σ 0 围成的几何体为 Ω ，
【解】令 Σ 0 : z = 1 （ x 2 + y 2 ≤ 1 ）
由高斯公式得
∫∫ ( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy = −∫∫∫[3( x − 1) + 3( y − 1) + 1]dv
3 3 2 2
Σ+Σ0 Ω
= − ∫∫∫[3( x + y ) − 6 x − 6 y + 7]dv = − ∫∫∫[3( x + y 2 ) + 7]dv
2 2 2
Ω Ω
1 1 2π z
= − ∫ dz ∫∫ [3( x + y ) + 7]dv = − ∫ dz ∫ dθ ∫ (3r + 7r )dr
2 2 3
0 0 0 0
x2 + y2 ≤ z
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
1 3 7 1 7
= −2π ∫ ( z 2 + z )dz = −2π ( + ) = −4π ，
0 4 2 4 4
而 ∫∫ ( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy = ∫∫ ( z − 1)dxdy = 0 ，
3 3
Σ0 Σ0
故I = ∫∫ ( x − 1) dydz + ( y − 1) dzdx + ( z − 1)dxdy = −4π 。
3 3
Σ
π π
（本题满分 10 分）设数列 {a n } 、 {bn } 满足 0 < a n <
（19） ,0 < bn < ，
2 2
∞
cos a n − a n = cos bn ，且级数 ∑ bn 收敛。
n =1
（I）证明： lim a n = 0 。
n →∞
∞
an
（II）证明： ∑ b 收敛。
n =1 n
【证明】
（I）方法一
∞
由 ∑ b 收敛得 lim b = 0 。
n =1
n
n →∞
n
令 lim a n = a ，等式 cos a n − a n = cos bn 两边取极限得 cos a − a = 1 。
n →∞
令 ϕ ( x) = 1 − cos x + x ， ϕ (0) = 0 ，
因为 ϕ ′( x) = sin x + 1 ≥ 0 ，所以 ϕ (x) 单调增加，由 ϕ ( x) = 0 得 x = 0 ，
故 lim a n = a = 0 。
n →∞
方法二
由 cos a n − a n = cos bn 得 a n = cos a n − cos bn > 0 ，从而 0 < a n < bn ，
∞ ∞
因为 ∑ bn 收敛，所以 ∑ an 收敛，故 lim an = 0 。
n =1 n =1
n →∞
（II）由 a n = cos a n − cos bn 得
a + bn a − bn
2 sin( n ) sin( n )
a n cos a n − cos bn 2 2 b 2 − a n2
= =− ~ n ，
bn bn bn 2bn
bn2 − a n2 bn ∞ ∞
b 2 − a n2
因为 0 ≤ ≤ 且 ∑ bn 收敛，所以 ∑ n 收敛，
2bn 2 n =1 n =1 2bn
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
∞
an
由比较审敛法得 ∑ b 收敛。
n =1 n
（20）
（本题满分 11 分）
1 − 2 3 − 4
设 A = 0 1 − 1 1 ， E 为三阶单位矩阵。
1 2 0 − 3
（I）求方程组 AX = O 的一个基础解系。
（II）求满足 AB = E 的所有矩阵 B 。
【解】
1 − 2 3 − 4 1 − 2 3 − 4 1 − 2 3 − 4
（I） A = 0 1 − 1 1 → 0 1 −1 1 → 0 1 −1 1
1 2 0 − 3 0 4 − 3 1 0 0 1 − 3
1 − 2 0 5 1 0 0 1
→ 0 1 0 − 2 → 0 1 0 − 2 ，
0 0 1 − 3 0 0 1 − 3
则方程组 AX = O 的一个基础解系为 ξ = (−1, 2,3,1)T 。
x1 x2 x3
x4 x5 x6
（II）令 B = ，
x x8 x9
7
x x11 x12
10
x1 x2 x3
1 − 2 3 − 4
x x5 x6
AB = 0 1 − 1 1 4
1 2 x x8 x9
0 − 3 7
x10 x11 x12
x1 − 2 x 4 + 3 x7 − 4 x10 x 2 − 2 x5 + 3x8 − 4 x11 x3 − 2 x6 + 3x9 − 4 x12
= x 4 − x7 + x10 x5 − x8 + x11 x6 − x9 + x12 ，
x + 2 x − 3x x 2 + 2 x5 − 3x11 x3 + 2 x6 − 3x12
1 4 10
由 AB = E 得
x1 − 2 x 4 + 3x7 − 4 x10 = 1 x 2 − 2 x5 + 3x8 − 4 x11 = 0 x3 − 2 x6 + 3x9 − 4 x12 = 0
x 4 − x7 + x10 = 0 、 x5 − x8 + x11 = 1 、 x6 − x9 + x12 = 0 。
x + 2 x − 3x = 0 x + 2 x − 3x = 0 x + 2 x − 3x = 1
1 4 10 2 5 11 3 6 12
1 − 2 3 − 4 1 1 − 2 3 − 4 1
由0 1 −1 1 0 → 0 1 −1 1 0
1 2 0 − 3 0 0 4 − 3 1 − 1
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
1 − 2 3 − 4 1 1 − 2 0 5 4 1 0 0 1 2
→ 0 1 −1 1 0 → 0 1 0 − 2 − 1 → 0 1 0 − 2 − 1 得
0 0 1 − 3 − 1 0 0 1 − 3 − 1 0 0 1 − 3 − 1
x1 − 1 2 2 − k1
x4 2 − 1 2k1 − 1
x = k1 3 + − 1 = 3k − 1 ；
7 1
x 1 0 k
10 1
1 − 2 3 − 4 0 1 − 2 3 − 4 0
由0 1 −1 1 1 → 0 1 −1 1 1
1 2 0 − 3 0 0 4 − 3 1 0
1 − 2 3 − 4 0 1 0 0 1 6
→ 0 1 −1 1 1 → 0 1 0 − 2 − 3 得
0 0 1 − 3 − 4 0 0 1 − 3 − 4
x2 − 1 6 6 − k 2
x5 2 − 3 2k 2 − 3
x = k 2 3 + − 4 = 3k − 4 ；
8 2
x 1 0 k
11 2
1 − 2 3 − 4 0 1 − 2 3 − 4 0
由0 1 −1 1 0 → 0 1 −1 1 0
1 2 0 − 3 1 0 4 − 3 1 1
1 − 2 3 − 4 0 1 0 0 1 − 1
→ 0 1 − 1 1 0 → 0 1 0 − 2 1 得
0 0 1 − 3 1 0 0 1 − 3 1
x3 − 1 − 1 − 1 − k 3
x6 2 1 2k 3 + 1
x = k 3 3 + 1 = 3k + 1 ，
9 3
x 1 0 k
12 3
2 − k1 6 − k 2 − 1 − k 3
2 k1 − 1 2 k 2 − 3 2 k 3 + 1
故B = （其中 k1 , k 2 , k 3 为任意常数）
。
3k1 − 1 3k 2 − 4 3k 3 + 1
k k k
1 2 3
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 1
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 2
（21）
（本题满分 11 分）证明 n 阶矩阵 与 相似。
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 n
【证明】
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 1
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 2
令A= ，B = ，
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
1 1 ⋯ 1 0 ⋯ 0 n
由 | λE − A |= 0 得 A 的特征值为 λ1 = ⋯ = λ n −1 = 0, λ n = n ，
由 | λE − B |= 0 得 B 的特征值为 λ1 = ⋯ = λ n −1 = 0, λ n = n 。
因为 AT = A ，所以 A 可对角化；
对 B ，因为 r (0 E − B) = r ( B ) = 1 ，所以 B 可对角化，
因为 A, B 特征值相同且都可对角化，所以 A ~ B 。
1
（本题满分 11 分）设随机变量 X 的概率分布为 P{ X = 1} = P{ X = 2} =
（22） ，
2
在给定 X = i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U (0, i )(i = 1,2) 。
（I）求 Y 得分布函数 FY ( y ) 。
（II）求 EY 。
【解】
（I） FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{ X = 1}P{Y ≤ y | X = 1} + P{ X = 2}P{Y ≤ y | X = 2}
1 1
= P{Y ≤ y | X = 1} + P{Y ≤ y | X = 2} ，
2 2
y < 0 时， FY ( y ) = 0 ；
1 y 1 y 3y
当 0 ≤ y < 1 时， FY ( y ) = ⋅ + ⋅ = ；
2 1 2 2 4
当 1 ≤ y < 2 时，
1 1 y y 1
FY ( y ) = + ⋅ = + ；
2 2 2 4 2
当 y ≥ 2 时， FY ( y ) = 1 ，
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
0, y < 0
3 y
,0 ≤ y < 1
4
故 FY ( y ) = 。
y + 1 ,1 ≤ y < 2
4 2
1, y ≥ 2
3
4 ,0 < y < 1
1
（II） f Y ( y ) = ,1 < y < 2 ，
4
0, 其他
1 3x 2 x 3 3 3
EY = ∫ dx + ∫ dx = + = 。
0 4 1 4 8 8 4
0, x < 0
（本题满分 11 分）设总体 X 的分布函数 F ( x) =
（23） 2
x ，其中 θ > 0 为未知
−
1 − e θ
,x ≥ 0
参数， X 1 , X 2 , ⋯ , X n 为来自总体 X 的简单随机样本。
（I）求 EX 及 EX 2 。
（II）求 θ 的最大似然估计量 θˆ 。
（III）是否存在实数 a ，使得对任意的 ε > 0 ，都有 lim P{| θˆ − a |≥ ε } = 0 ？
n →∞
【解】
0, x ≤ 0
（I） f ( x) = 2 x − x 。
2
e ,x > 0
θ
θ
x2
x2 =t
+∞ +∞ x 2 − θ +∞ θ
EX = ∫ xf ( x)dx = 2 ∫ e θ
dx = 2∫ te −t ⋅ dt
−∞ 0 θ 0
2 t
+∞ 1 πθ
= θ∫ t e −t dt = θ Γ( + 1) = 。
0 2 2
x2 x2
+∞ +∞ x3 − +∞ x2 − x2
EX = ∫ x f ( x)dx = 2∫
2 2
e θ dx = θ ∫ e θ d( ) = θΓ(2) = θ 。
−∞ 0 θ 0 θ θ
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com
x 2 + x 2 +⋯+ xn2
2 n x1 x 2 ⋯ x n − 1 2
（II）似然函数 L(θ ) = e θ
，
θn
n
x12 + x 22 + ⋯ + x n2
ln L(θ ) = n ln 2 + ∑ ln xi − n ln θ − ，
i =1 θ
d n x12 + x 22 + ⋯ + x n2
由 ln L(θ ) = − + = 0得
dθ θ θ2
1 n 2
θ 的最大似然估计量为 θˆ = ∑ Xi 。
n i =1
1 n 2
（III）由大数定律得 θˆ = ∑
n i =1
X i 依概率收敛于 EX 2 = θ ，
故存在 a = θ ，使得对任意的 ε > 0 ，有 lim P{| θˆ − a |≥ ε } = 0 。
n →∞
您所下载的资料来源于 kaoyan.com 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问 http://download.kaoyan.com2015 年数学一原题
2015 年考研数学一真题
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前
的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
(1)设函数 f ( x) 在 , 内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线 y f ( x) 的拐点的个数
为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
1 2x 1
(2) 设 y e ( x )e x 是 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 y ay by ce x 的 一 个 特 解 ， 则
2 3
( )
(A) a 3, b 2, c 1
(B) a 3, b 2, c 1
(C) a 3, b 2, c 1
(D) a 3, b 2, c 1
(3) 若级数 a 条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数 na ( x 1) 的 (
n 1
n
n 1
n
n
)
(A) 收敛点，收敛点
(B) 收敛点，发散点
(C) 发散点，收敛点
(D) 发散点，发散点
(4) 设 D 是第一象限由曲线 2 xy 1 ，4 xy 1 与直线 y x ， y 3x 围成的平面区域，函数 f x, y 在 D
上连续，则 f x, y dxdy
D
( )
1
(A) d sin12 f r cos , r sin rdr
3
4 2sin 2
1
(B) 3 d sin 2
1 f r cos , r sin rdr
4 2sin 2
1
(C) d
3 sin 2
1 f r cos , r sin dr
4 2sin 2
1
(D) d
3 sin 2
1 f r cos , r sin dr
4 2sin 2
1 1 1 1
(5) 设矩阵 A 1 2 a ， b d ，若集合 1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多解的充分必要
1 4 a 2 d2
条件为 ( )
(A) a , d
(B) a , d
(C) a , d
(D) a , d
(6)设二次型 f x1 , x2 , x3 在正交变换为 x Py 下的标准形为 2 y1 y2 y3 ，其中 P e1 , e2 , e3 ，若
2 2 2
Q e1 , e3 , e2 ， 则 f x1 , x2 , x3 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为
( )
(A) 2 y1 y2 y3
2 2 2
(B) 2 y1 y2 y3
2 2 2
(C) 2 y1 y2 y3
2 2 2
(D) 2 y1 y2 y3
2 2 2
(7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( )
(A) P AB P A P B (B) P AB P A P B
P A P B P A P B
(C) P AB (D) P AB
2 2
(8)设随机变量 X , Y 不相关，且 EX 2, EY 1, DX 3 ，则 E X X Y 2 ( )
(A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5
二、填空题：9 14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸
．．．指定位置上.
ln cos x
(9) lim _________ .
x 0 x2
sin x
(10) (1 cos x x )dx ________ .
2
2
(11)若函数 z z ( x, y ) 由方程 e xyz x cos x 2 确定，则 dz (0,1) ________ .
x
(12)设 是由平面 x y z 1 与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 ( x 2 y 3z )dxdydz __________ .
2 0 0 2
1 2 0 2
(13) n 阶行列式 ___________ .
0 0 2 2
0 0 1 2
(14)设二维随机变量 ( x, y ) 服从正态分布 N (1,0;1,1,0)，则 P{ XY Y 0} ________ .
三、解答题：15～23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸
．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分 10 分) 设函数 f x x a ln(1 x) bx sin x ，g ( x) kx ，若 f
3
x 与 g x 在 x 0 是等价无穷小，
求 a, b, k 的值.
(16)(本题满分 10 分) 设函数 f x 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 x0 I ，由线 y =f x 在点 x0 , f x0 处
的切线与直线 x x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f 0 2 ，求 f x 的表达式.
(17)(本题满分 10 分)
已知函数 f x , y x y x y ，曲线 C： x 2 y 2 x y 3 ，求 f x , y 在曲线 C 上的最大方向导
数.
(18)(本题满分 10 分)
（I）设函数 u ( x) , v( x) 可导，利用导数定义证明[u( x)v( x)] u ( x)v( x) u( x)v( x)
（II）设函数 u1 ( x) , u2 ( x) , , un ( x) 可导， f ( x) u1( x)u2( x) un( x)，写出 f (x )的求导公式.
(19)(本题满分 10 分)
z 2 x 2 y 2 ,
已知曲线 L 的方程为
z x,
起 点 为 A 0, 2, 0 ， 终 点 为 B 0, 2, 0 ， 计 算 曲 线 积 分
I y z dx z 2 x 2 y dy ( x 2 y 2 )dz .
L
(20) (本题满 11 分)
设向量组 α 1 , α 2 , α 3 内 R 的一个基， β1 =2α1 +2kα3 ， β2 =2α2 ， β3 =α1 + k +1 α3 .
3
（I）证明向量组 1 2 3 为 R 的一个基;
3
（II）当 k 为何值时，存在非 0 向量 ξ 在基 α1 , α2 , α3 与基 1 2 3 下的坐标相同，并求所有的 ξ .
(21) (本题满分 11 分)
0 2 3 1 2 0
设矩阵 A 1 3 3 相似于矩阵 B = 0 b 0 .
1 2 a 0 3 1
(I) 求 a, b 的值；
1
（II）求可逆矩阵 P ，使 P AP 为对角矩阵..
2 x ln 2, x 0,
(22) (本题满分 11 分) 设随机变量 X 的概率密度为 f x
0, x 0.
对 X 进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记 Y 为观测次数.
(I)求 Y 的概率分布;
(II)求 EY
(23) (本题满分 11 分)设总体 X 的概率密度为：
1
, x 1,
f ( x, ) 1
0,
其他.
其中 为未知参数， x1 , x2 , , xn 为来自该总体的简单随机样本.
(I)求 的矩估计量.
(II)求 的最大似然估计量.
数学一试题答案
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所
选项前的字母填在答题纸
．．．指定位置上.
（1）B
（2）D
（3）D
（4）B
（5）B
（6）A
（7）（B）
（8）（D）
二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸
．．．指定位置上.
（9） 2 x y z 1 0
（10） f ( 1 ) 1
y
（11） ln 2x 1
x
（12）
（13）[-2,2]
2
（14）
5n
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸
．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）【答案】
1
x
[ t ( e x 1 ) t ] dt
2
lim 1
x 1
x 2 ln( 1 )
x
1
x x
( e 1 ) t 2 dt tdt
x
lim 1 1
x x
lim x ( e 1 ) x
2
x
1
令u ,
x
则 lim x 2 ( e 1 ) x
x
eu 1 u
lim
u 0 u2
eu 1 1
lim
u 0 2u 2
（16）【答案】
3 y 2 y y 2 x 2 yy 2 xy x 2 y 0
y 2 2 xy 0
y( y 2 x ) 0
y 0( 舍 )或y 2 x 。
y 2 x 时，
y 3 xy 2 x 2 y 6 0
8 x 3 x ( 4 x 2 ) x 2 ( 2 x ) 6 0
8x3 4 x3 2 x3 6 0
6 x3 6 0
x 3 1 x 1, y 2
6( y )2 y 3 y 2 y 2 yy 2 yy x 2( y )2 x 2 yy 2 y 2 xy 2 xy x 2 y 0
12 y( 1 ) 4 y( 1 ) 4 y( 1 ) 0
9 y( 1 ) 4
9
y( 1 ) 0
4
所以 y( 1 ) 2 为极小值。
（17）【答案】
E
f ( e x cos y )e x cos y
x
2E
f ( e x cos y )e 2 x cos 2 y f ( e x cos y )e x cos y
x 2
E
f ( e x cos y )e x ( sin y )
y
2E
f ( e x cos y )e 2 x sin 2 y f ( e x cos y )e x ( cos y )
y 2
2E 2E
f ( e x cos y )e 2 x ( 4 E e x cos y )e 2 x
x 2 y 2
f ( e x cos y ) 4 f ( e x cos y ) e x cos y
令 e cos y u ，
x
则 f ( u ) 4 f ( u ) u ，
u
故 f ( u ) C1e
2u
C2 e 2u ,( C1 ,C2为任意常数 )
4
由 f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 , 得
e 2u e 2u u
f (u )
16 16 4
（18）【答案】
补 : ( x , y , z ) z 1的下侧，使之与 围成闭合的区域 ，
1
1 1
[ 3( x 1 )2 3( y 1 )2 1 ]dxdydz
2 1 1
d d [ 3( cos 1 )2 3( sin 1 )2 1 ] dz
0 0 2
2 1 1
d d [ 3 2 6 2 cos 6 2 sin 7 ] dz
0 0 2
1
2 ( 3 3 7 )( 1 2 )d 4
0
（19）【答案】
（1）证 { a n } 单调
由 0 an ，根据单调有界必有极限定理，得 lim an 存在，
2 n
设 lim an a ，由
n
b 收敛，得 lim b 0 ，
n 1
n
n
n
故由 cos a n a n cosb n ，两边取极限（令 n ）
，得 cos a a cos 0 1 。
解得 a 0 ，故 lim an 0 。
n 2017 年数学一原题
Born to win
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题： 1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
的，请将所选项前的字母填在答题纸
．．． 指定位置上 .
1 cos x
,x 0在
（ 1）若函数 f ( x) ax x 0 处连续，则（ ）
b, x 0
1 1
( A) ab B ab
2 2
(C ) ab 0 D ab 2
【答案】 A
1
x
1 cos x 2 1 1 1
【解析】 lim lim , f (x) 在 x 0 处连续 b ab . 选 A.
x 0 ax x 0 ax 2a 2a 2
'
（ 2）设函数 f ( x) 可导，且 f (x) f ( x) 0 ，则（ ）
( A ) f (1) f ( 1) B f (1) f ( 1)
(C ) f (1) f ( 1) D f (1) f ( 1)
【答案】 C
' f ( x) 0 f ( x) 0
【解析】 f ( x) f ( x) 0, (1) 或 (2) ，只有 C 选项满足 (1) 且满足 (2) ，所以选 C。
f '( x) 0 f '( x) 0
2 2
（ 3）函数 f ( x, y, z) x y z 在点 (1,2,0) 处沿向量 u 1,2,2 的方向导数为（ ）
( A)12 ( B )6 (C )4 ( D )2
【答案】 D
2 f u 1 2 2
【解析】
gradf {2 xy, x ,2 z}, gradf (1,2,0) {4,1,0} gradf {4,1,0} { , , } 2.
u |u | 3 3 3
选 D.
（ 4）甲乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10（单位： m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1 (t )（单
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 1
Born to win!
精勤求学 自强不息
位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t ) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追
上甲的时刻记为 t0 （单位： s），则（ ）
v( m / s)
10 20
0 5 10 15 20 25 30 t ( s)
( A)t 0 10 ( B)15 t0 20 ( C) t0 25 ( D )t 0 25
【答案】 B
t0 t0
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为 v1 (t) dt , 0 v2 (t)dt , 则乙要追上甲，则
0
t0
v2 (t) v1 (t)dt 10 ，当 t 0 25 时满足，故选 C.
0
（ 5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
T T
( A) E 不可逆 B E 不可逆
T T
(C ) E 2 不可逆 D E 2 不可逆
【答案】 A
T T T T
【解析】选项 A, 由 ( E ) 0 得 (E ) x 0 有非零解，故 E 0 。即 E
T T T
不可逆。 选项 B,由 r ( ) 1得 的特征值为 n-1 个 0，1.故 E 的特征值为 n-1 个 1，2.故可逆。
其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0
（ 6）设矩阵 A 0 2 1 ,B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则（ ）
0 0 1 0 0 1 0 0 2
( A ) A与 C 相似 , B与 C 相似 B A与 C 相似 , B 与 C 不相似
(C ) A与 C 不相似 , B 与 C相似 D A与 C 不相似 , B与 C 不相似
【答案】 B
2
2 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
【解析】由 ( E A) 0 可知 A 的特征值为 2,2,1
1 0 0
因为 3 r (2 E A) 1 ，∴ A 可相似对角化，且 A~ 0 2 0
0 0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r (2 E B) 2 ，∴ B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化，
∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
（ 7）设 A, B 为随机概率，若 0 P( A ) 1,0 P( B) 1 ，则 P ( A B ) P ( A B ) 的充分必要条件是（ ）
( A) P ( B A) P ( B A) ( B ) P( B A) P( B A)
(C ) P ( B A ) P ( B A) ( D ) P ( B A) P ( B A)
【答案】 A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
n
（ 8）设 X 1, X 2
1
X n (n 2) 为来自总体 N ( ,1) 的简单随机样本， 记 X X i ，则下列结论中不正确
ni 1
的是（ ）
n
2 2 2 2
( A) ( Xi ) 服从 分布 B 2( X n X1 ) 服从 分布
i 1
n
2 2 2 2
(C ) ( Xi X ) 服从 分布 D n( X ) 服从 分布
i 1
【答案】 B
【解析】
X N ( ,1), X i N (0,1)
n
2 2
(X i ) ( n), A正确
i 1
n
2 2 2
( n 1)S ( Xi X) ( n 1)， C正确，
i 1
1 2 2
X ~N ( , ), n ( X ) N (0,1), n( X ) ~ (1),D 正确 ,
n
2
( X n X1 ) 2
~ N (0, 2), ~ (1),故 B 错误 .
2
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 3
Born to win!
精勤求学 自强不息
由于找不正确的结论，故 B 符合题意。
二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸
．．． 指定位置上 .
1 (3)
(9) 已知函数 f ( x ) 2 ，则 f (0) =__________
1 x
【答案】 f (0) 6
【解析】
1 1 2 n n 2n
f (x) 2 2 ( x ) ( 1) x
1 x 1 ( x ) n 0 n 0
''' n 2n 3 '''
f ( x) ( 1) 2n (2n 1)(2n 2) x f (0) 0
n 2
(10) 微分方程 y '' 2y' 3y 0 的通解为 y _________
x
【答案】 y e ( c1 cos 2x c2 sin 2 x) ，（ c1 , c2 为任意常数）
2
【解析】齐次特征方程为 2 3 0 1,2 1 2i
x
故通解为 e ( c1 cos 2 x c2 sin 2x )
xdx aydy 2 2
(11) 若曲线积分 2 2
在区域 D ( x, y) | x y 1 内与路径无关，则
L
x y 1
a __________
【答案】 a 1
P 2 xy Q 2 axy P Q
【解析】 2 2 2 , 2 2 2 ,
由积分与路径无关知 a 1
y (x y 1) x (x y 1) y x
n 1 n 1
(12) 幂级数 ( 1) nx 在区间 ( 1,1) 内的和函数 S ( x ) ________
n 1
1
【答案】 s( x) 2
1 x
' '
n 1 n 1 n 1 n x 1
【解析】 ( 1) nx ( 1) x 2
n 1 n 1 1 x (1 x)
1 0 1
（ 13）设矩阵 A 1 1 2 ， 1 , 2 , 3 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为
0 1 1
4
4 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
_________
【答案】 2
【解析】由 1 , 2 , 3
线性无关，可知矩阵 1 , 2 , 3
可逆，故
r A 1, A 2 , A 3 r A 1 , 2 , 3 r A 再由 r A 2 得 r A 1, A 2 , A 3 2
x 4
（ 14）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x) 0.5 ( x) 0.5 ( ) ，其中 ( x ) 为标准正态分布函数，则
2
EX _________
【答案】 2
0.5 x 4 0.5 x 4
【解析】 F ( x ) 0.5 ( x) ( ) ，故 EX 0.5 x ( x )dx x ( )dx
2 2 2 2
x 4 x 4
x ( x)dx EX 0 。令 t ，则 x ( )dx = 2 4 2t ( t ) dt 81 4 t (t )dt 8
2 2
因此 E ( X ) 2.
三、解答题： 15— 23 小题，共 94 分 .请将解答写在答题纸
．．． 指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤 .
（ 15）（本题满分 10 分）
2
x dy d y
设函数 f (u , v) 具有 2 阶连续偏导数， y f (e ,cos x) ，求 2
dx x 0 ， dx x 0
2
dy ' d y ''
【答案】 f 1 (1,1), 2 f 11(1,1),
dx x 0 dx x 0
【解析】
x 0
x
y f (e ,cos x) y (0) f (1,1)
dy ' x ' ' ' '
f1 e f2 sin x f1 (1,1) 1 f 2 (1,1) 0 f1 (1,1)
x 0
dx x 0
2
d y '' 2x '' x '' x '' 2 ' x '
2 f11e f 12e ( sin x) f 21e ( sin x) f 22 sin x f1 e f 2 cos x
dx
2
d y '' ' '
2 f11 (1,1) f1 (1,1) f 2 (1,1)
dx x 0
结论：
dy '
f1 (1,1)
dx x 0
2
d y '' ' '
2 f11 (1,1) f1 (1,1) f 2 (1,1)
dx x 0
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 5
Born to win!
精勤求学 自强不息
n
k k
（ 16）（本题满分 10 分）求 lim 2 ln 1
n
k 1 n n
1
【答案】
4
【解析】
n 2
k k 1 1 1 2 1 2 1 1 x 1 1 1
lim 2 ln(1 ) 0
x ln(1 x) dx 0
ln(1 x) dx (ln(1 x ) x 0
0
dx)
n
k 1 n n 2 2 1 x 4
（ 17）（本题满分 10 分）
3 3
已知函数 y ( x) 由方程 x y 3x 3y 2 0 确定，求 y( x) 的极值
【答案】极大值为 y (1) 1 ，极小值为 y ( 1) 0
【解析】
两边求导得：
2 2
3x 3y y ' 3 3y ' 0 （1）
令 y' 0得 x 1
2 2
对（ 1）式两边关于 x 求导得 6x 6y y' 3 y y ' ' 3y ' ' 0 （ 2）
x 1 x 1
将 x 1 代入原题给的等式中，得 or ，
y 1 y 0
将 x 1, y 1 代入（ 2）得 y ''(1) 1 0
将 x 1, y 0 代入（ 2）得 y ''( 1) 2 0
故 x 1 为极大值点， y(1) 1 ； x 1 为极小值点， y( 1) 0
（ 18）（本题满分 10 分）
f (x)
设函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上具有 2 阶导数，且 f (1) 0, lim 0 ，证明：
x 0 x
( ) 方程 f ( x ) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根；
' ' 2
( ) 方程 f ( x) f ( x) ( f ( x)) 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
f ( x)
（ I） f ( x ) 二阶导数， f (1) 0, lim 0
x 0 x
6
6 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
f ( x)
解： 1）由于 lim 0 ，根据极限的保号性得
x 0 x
f ( x)
0, x (0, ) 有 0 ，即 f ( x) 0
x
进而 x0 (0, )有 f 0
又由于 f ( x) 二阶可导，所以 f ( x) 在 [0,1] 上必连续
那么 f ( x) 在 [ ,1] 上连续，由 f ( ) 0, f (1) 0 根据零点定理得：
至少存在一点 ( ,1) ，使 f ( ) 0 ，即得证
（ II ）由（ 1）可知 f (0) 0， (0,1), 使 f ( ) 0 ，令 F ( x ) f ( x) f '( x) ，则 f (0) f( ) 0
由罗尔定理 (0, ), 使 f '( ) 0 ，则 F (0) F( ) F( ) 0，
对 F ( x) 在 (0, ),( , ) 分别使用罗尔定理：
1 (0, ), 2 ( , )且 1 , 2 (0,1), 1 2 ，使得 F '( 1) F '( 2 ) 0 ，即
2
F '( x) f ( x ) f ''( x ) f '( x ) 0 在 (0,1) 至少有两个不同实根。
得证。
（ 19）（本题满分 10 分）
2 2 2
设薄片型物体 S 是圆锥面 z x y 被柱面 z 2 x 割下的有限部分，其上任一点的密度为
2 2 2
9 x y z 。记圆锥面与柱面的交线为 C
( ) 求 C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程；
( ) 求 S 的 M 质量。
【答案】 64
【解析】
2 2
z x y 2 2
（ 1）由题设条件知， C 的方程为 x y 2x
2
z 2x
2 2
x y 2x
则 C 在 xoy 平面的方程为
z 0
（ 2）
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 7
Born to win!
精勤求学 自强不息
2 2 2 2 2
m (x, y,z) dS 9 x y z dS 9 2 x y 2dxdy
s s D :x2 y 2 2x
2cos
2 2
18 d 0
r dr 64
2
（ 20）（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵 A 1 , 2 , 3 有 3 个不同的特征值，且 3 1 2 2。
( ) 证明 r ( A) 2；
( )若 1 2 3 ，求方程组 Ax 的通解。
1 1
【答案】（ I）略；（ II ）通解为 k 2 1 ,k R
1 1
【解析】
（ I）证明：由 3 1 2 2 可得 1 2 2 3 0 ，即 1 , 2 , 3 线性相关，
因此， A 1 2 3 0 ，即 A 的特征值必有 0。
又因为 A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有 1 个 0，另外两个非 0.
1
且由于 A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 2 , 1 2 0
0
∴ r ( A) r( ) 2
（ II ）由（ 1） r ( A) 2 ，知 3 r ( A) 1 ，即 Ax 0 的基础解系只有 1 个解向量，
1 1 1
由 1 2 2 3 0 可得 1 , 2 , 3 2 A 2 0 ，则 Ax 0 的基础解系为 2 ，
1 1 1
1 1 1
又 1 2 3 ，即 1 , 2 , 3 1 A 1 ，则 Ax 的一个特解为 1 ，
1 1 1
1 1
综上， Ax 的通解为 k 2 1 ,k R
1 1
8
8 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
2 2 2
（ 21）（本题满分 11 分）设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 ax3 2 x1x2 8x1x3 2x2 x3
2 2
在正交变换 X QY 下的标准型 1 y1 2 y2 ，求 a 的值及一个正交矩阵 Q
1 1 1
3 2 6
1 2 2 2
【答案】 a 2; Q 0 ,f x Qy 3 y1 6 y2
3 6
1 1 1
3 2 6
【解析】
2 1 4
T
f ( x1, x2 , x3 ) X AX ，其中 A 1 1 1
4 1 a
T 2 2
由于 f ( x1 , x2 , x3 ) X AX 经正交变换后，得到的标准形为 1 1 y 2 y2 ，
2 1 4
故 r ( A) 2 | A| 0 1 1 1 0 a 2，
4 1 a
2 1 4
将a 2 代入，满足 r ( A) 2 ，因此 a 2 符合题意，此时 A 1 1 1 ，则
4 1 2
2 1 4
| E A| 1 1 1 0 1 3, 2 0, 3 6，
4 1 2
1
由( 3E A) x 0 ，可得 A 的属于特征值 -3 的特征向量为 1 1 ；
1
1
由 (6 E A) x 0 ，可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为 2 0
1
1
由 (0 E A) x 0 ，可得 A 的属于特征值 0 的特征向量为 3 2
1
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 9
Born to win!
精勤求学 自强不息
3
1
令 P 1, 2, 3 ，则 P AP 6 ，由 于 1 , 2 , 3 彼 此 正 交 ， 故 只 需 单 位 化 即 可 ：
0
1 T 1 T 1 T
1 1, 1,1 , 2 1,0,1 , 3 1,2,1 , ，
3 2 6
1 1 1
3 2 6
3
1 2 T
则Q 1 2 3 0 ， Q AQ 6
3 6
0
1 1 1
3 2 6
x Qy
2 2
f 3 y1 6 y2
1
（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立， 且 X 的概率分布为 P ( X
（ 22） 0) P( X 2) ，Y 的
2
2 y，0 y 1
概率密度为 f ( y)
0, 其他
( ) 求 P (Y EY )
( )求Z X Y 的概率密度。
4 z, 0 z 1
【答案】 (I) P{ Y EY } ;(II) f Z ( z)
9 z 2,2 z 3
【解析】
1 2
( ) E (Y) 0
y 2 ydy
3
2
2 3 4
P(Y EY ) P (Y ) 2 ydy
3 0 9
( ) Fz ( Z ) P( Z z) P( X Y z)
P( X Y z, X 0) P( X Y z, X 2)
P(Y z, X 0) P (Y z 2, X 2)
1 1
P (Y z) P(Y z 2)
2 2
（ 1） 当 z 0, z 2 0 ，而 z 0 ，则 Fz (Z ) 0
10
10 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
（ 2） 当 z 2 1, z 1, 即 z 3 时， Fz ( Z ) 1
1 2
（ 3）当 0 z 1 时， F z ( Z ) z
2
1
（ 4）当 1 z 2 时， Fz ( Z )
2
1 1 2
（ 5）当 2 z 3 时， F z ( Z ) ( z 2)
2 2
0 z 0
1 2
z ,0 z 1
2
1
所以综上 F z ( Z ) ,1 z 2
2
1 1 2
(z 2) , 2 z 3
2 2
1, z 3
' z 0 z 1
所以 f z ( Z ) Fz ( Z )
z 2 2 z 3
（ 23）（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做 n 次测量，该物体
2
的质量 是已知的，设 n 次测量结果 X 1 , X 2 X n 相互独立且均服从正态分布 N( , ) 。该工程师记录
的是 n 次测量的绝对误差 Zi Xi (i 1,2, n) ，利用 Z1, Z 2 Z n 估计 。
( ) 求 Z i 的概率密度；
( ) 利用一阶矩求 的矩估计量
【答案】
z2
2 2 2
e , z 0
( I ) f Z i ( z) 2 ;
0, 其他
n
1
( II ) 矩估计 ?= Xi ;
n 2 i 1
n
1 2
( III )最大似然估计： ?= ( Xi )
ni 1
【解析】 ( ) Fz ( z) P ( Zi z) P( X i z)
i
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 11
Born to win!
精勤求学 自强不息
当 z 0, Fz ( z)
i
0
当 z 0, Fz ( z) P( z Xi z) P( z Xi z) FX ( z) F ( z)
i
当 z 0 时，
z2 z2 z2
' 1 2 1 2 2 2
f z ( z)
i
Fz ( z)
i
fx ( z) f x( z) e2 e2 e2
2 2 2
z2
2 2 2
e ,z 0
综上 f zi ( z ) 2
0 ,z 0
z2
z2
1 2 2
2 2 e 2 dz
( ) E Zi 0
z e 2 dz 0 2
2
2
2 z 2
2 2 2 z 2 2
0
e d( 2 )
2 2 2
n n
1 1
令 E (Z i ) Z Z Zi Xi
n i1 n i 1
^
1 n
由此可得 的矩估计量 Xi
2 ni 1
对总体 X 的 n 个样本 X 1, X 2 , X n ，则相交的绝对误差的样本 Z1 , Z 2 , Zn , Zi xi u ,i 1,2...n, 令其样
本值为 Z1, Z 2 , Z n , Zi xi u
n
2
Zi
n i 1
2 2
则对应的似然函数 L( ) e 2 , Z1, Z2 , Z n 0
2
0 , 其他
两边取对数，当 Z 1 , Z2 , Zn 0时
n
2 1 2
ln L ( ) n ln 2 Zi
2 2 i 1
n
d ln L ( ) n 1 2
令 3 Zi 0
d u i 1
12
12 全国统一服务热线： 400— 668— 2155
Born to win
1 n 2 1 n 2
所以， Z i ( Xi u ) 为所求的最大似然估计。
ni1 ni 1
全国统一服务热线： 400— 668— 2155 132018 年数学一原题
2018 考研数学一真题
（1） 下列函数不可导的是：
A y x sin x
B y x sin x
C y cos x
D y cos x
（2） 过点（1，
0，0）与（0，
1，0）且与z=x y 相切的平面方程为 2 2
A z 0与x y z 1
B z 0与2x 2y z 2
C y x与x+y-z=1
D y x与2c 2y z 2
2n 3
（3）
0
n
(1)n
(2 n 1)!
A sin 1 cos 1
B 2 sin 1 cos 1
C sin 1 cos 1
D 3 sin 1 2 cos 1
(1 x)2
2 2
1x 2
（4） M dx N= dx K= (1 cos x )dx ），则 M,N,K
1 x
2 x
e
2 2 2
的大小关系为
1
A M N K
B M K N
C K M N
D N M K
1 1 0
（5）下列矩阵中，与矩阵 0 1 1 相似的为______.
0 0 1
1 1 1 1 0 1
A. 0 1 1
B. 0 1 1
0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 0 1
C. 0 1 0
D. 0 1 0
0 0 1 0 0 1
（6）.设 A ， B 为 n 阶矩阵，记 r ( X ) 为矩阵 X 的秩，（ X Y ） 表示分块矩阵，则
A. r ( A AB) r ( A) B. r ( A BA) r ( A)
C. r ( A B) max{r ( A), r ( B)} D. r ( A B) r ( AT BT )
2
（7）设 f ( x) 为某分部的概率密度函数， f (1 x) f (1 x) ， f ( x)dx 0.6 ，则
0
p{ X „ 0} .
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
（8）给定总体 X N ( , 2 ) ， 2 已知，给定样本 X1 , X 2 , , X n ，对总体均值 进行检
验，令 H 0 : 0 , H1 : 0 ，则
A . 若显著性水平 0.05 时拒绝 H 0 ，则 0.01 时也拒绝 H 0 .
B. 若显著性水平 0.05 时接受 H 0 ，则 0.01 时拒绝 H 0 .
C. 若显著性水平 0.05 时拒绝 H 0 ，则 0.01 时接受 H 0 .
D. 若显著性水平 0.05 时接受 H 0 ，则 0.01 时也接受 H 0 .
2
1
1 tan x sin kx
（9） lim e, 则 k
x 0 1 tan x
1
，且与 y a 相切与（1,2）
（10） y f ( x) 的图像过（0,0） xf '( x)dx
x
，求
0
（11） F ( x, y, z ) xy yz xzk , 求rot F (1,1,0)
（12）曲线 S 由 x y z 1与x y z 0 相交而成，求 xydS
2 2 2
（ 13 ） 二 阶 矩 阵 A 有 两 个 不 同 特 征 值 ， 1 , 2 是 A 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ，
A2 (1 2 ) (1 2 ), 则 A =
1 1
（14）A,B 独立，A,C 独立， BC , P( A) P( B) ，P( AC AB C ) , 则P(C ) =
2 4
（15）.求不定积分 e arctan e 1dx
2x x
（16）.一根绳长 2m，截成三段，分别折成圆、三角形、正方形，这三段分别为多长是
所得的面积总和最小，并求该最小值。
（17）. x 1 3 y 3z 取正面，求 xdydz ( y z)dxdz z dxdy
2 2 3 3
（18）微分方程 y ' y f ( x)
（I）当 f ( x) x 时，求微分方程的通解.
（II）当 f ( x) 为周期函数时，证微分方程有通解与其对应，且该通解也为周期函数.
（19）数列 {xn } ， x1 0 ， xn e n1 e n 1 .证： {xn } 收敛，并求 lim xn .
x x
n
（20）设实二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 x3 ) 2 ( x2 x3 ) 2 ( x1 ax3 ) 2 , 其中 a 是参数，
（I）求 f ( x1 , x2 , x3 ) 0 的解
（II）求 f ( x1 , x2 , x3 ) 的规范形
1 2 a 1 a 2
（21）已知 a 是常数，且矩阵 A 1 3 0 可经初等变换化为矩阵 B 0 1 1
2 7 a 1 1 1
（I）求 a
（II）求满足 AP B 的可逆矩阵 P
3
（22） X , Y 随机变量相互独立， P{ X 1} y1 ， P{ X 1} y2 ， Y 服从 的泊松分布.
Z XY
（1）求 cov( X , Z ) .
（2）求 Z 得概率分布.
x
1
（23） X1 , X 2 , , X n 来自总体 X 的分布， f ( x) e （ 未知， x ）.
2
（1）求 得极大似然估计.
（2）求 E ( ) ， D( ) .
42019 年数学一原题
Born to win
k
1.当 x 0 时，若 x tan x与x 是同阶无穷小，则 k
A.1. B.2.
C.3. D.4.
x | x |, x 0,
2.设函数 f ( x ) 则 x 0 是 f ( x) 的
xlnx, x 0,
A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设 {un } 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
m
un m
1
A. n.
n 1
B. (1) u .
n 1
n
n
m
un m
C. (1 u ) .
n 1
D. (un 1
2
n 1 un2 )
n 1
x
4. 设 函 数 Q ( x, y ) . 如 果 对 上 半 平 面 ( y 0) 内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有
y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 ，那么函数 P ( x, y ) 可取为
C
x2 1 x2
A. y . B. .
y3 y y3
1 1 1
C. . D. x
x y y
2
5.设 A 是 3 阶实对称矩阵， E 是 3 阶单位矩阵，若 A A 2 E ,且 | A | 4 ,则二次型 x T Ax
的规范形为
A. y12 y22 y32 . B. y12 y22 y32 .
C. y12 y22 y32 . D. y12 y22 y32
它们的方程 ai1 x ai 2 y ai 3 z d i (i=1,2,3)
6.如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 A, A ，则
A． r ( A) 2, r( A) 3
B. r ( A) 2, r( A) 2
Born to win
C. r ( A) 1, r( A) 2
D. r ( A) 1, r( A) 1
7.设 A, B 为随机事件，则 P( A) P( B ) 的充分必要条件是
A. P( A B) P( A) P( B) B. P( AB ) P( A) P( B )
C. P( AB ) P( B A) D. P( AB ) P( AB )
8.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 N ( , ) .则 P x y 1
2
A.与 无关，而与 有关. B. 与 有关，而与 无关.
2 2
C. 与 , 都有关. D. 与 , 都无关.
2 2
二、填空题
1 z 1 z
9.设函数 f (u ) 可导， z f (sin y sin x ) xy ，则 ________
cos x x cos y y
10.微分方程 2 yy y 2 0 满足条件 y (0) 1 的特解 y ________
2 2
( 1)n n
11.幂级数
n 0 (2n )!
x 在 (0, ) 内的和函数 S ( x ) ________
4 x 4 z dxdy ________
2 2 2 2 2
12.设 为曲面 x y 4 z 4( z 0) 的上侧，则
z
13.设 A (1 , 2 , 3 ) 为三阶矩阵，若 1 , 2 线性无关，且 3 1 2 2 。则线性方程组
Ax 0 的通解为________
x
,0 x 2,
14.设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 2 ，F ( x ) 为 X 的分布函数，EX 为 x 的
0, 其他，
数学期望，则 P F ( X ) EX 1 ________
Born to win
三、解答题
15.（本题满分 10 分）
x2
设函数 y ( x ) 是微分方程 y ' xy e 2
满足条件 y (0) 0 的特解.
（1）求 y ( x )
（2）求曲线 y y ( x ) 的凹凸区间及拐点
2 2
16.设 a , b 为实数，函数 z 2 ax by 在点（3，4）处的方向导数中，沿方向 l 3i 4 j
的方向导数最大，最大值为 10.
（1）求 a , b ；
2 2
（2）求曲面 z 2 ax by ( z 0)的面积 ；
1
x 1 x dx (n 1, 2,3...)
n 2
19.设 an
0
n 1
（1）证明： an 单调递减，且 an .an 2 ( n 2,3...)
n2
an
（2） lim
n a
n 1
24.设总体 X 的概率密度为
A x 2
2
,x
f ( x ) e
2
2
0 ,x
其中 是已知参数， 0 是未知参数， A 是常数， X 1 , X 2 ,..., X n 是来自总体 X 的简单随
机样本，
（1） 求 A ；
（2） 求 2 的最大似然估计量；2020 年数学一原题
绝密 ★ 启用前
2020 年全国硕士研究生招生考试
数学 ( 一 ) 试题
社
版
1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分 .下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中,只 有 一 个 选
一、选择题:
项是符合题目要求的 .
(
1)当 x ➝0 时,下列无穷小量中最高阶是
+
出 【 】
∫ 电 ∫
x x
A) (
( e -1) (
B) l
n(1+ t )
2
d d
3
t. t.
t
0 0
∫ 邮 ∫
s
inx 1-c
osx
(
C) s
int d
2
t. (
D) s
intd
3
t.
0 0
(
2)设函数 f(
x )在区间(
-1,
1)内有定义,且l
imf(
x )=0,则 【 】
(
A)当l
im
f(
x)
=0,
f(
民
x )在 x =0 处可导 .
x ➝0
(
x ➝0
B)当l
im
人
|x |
f(
x ➝0 x
x)
2 =0,
f(x )在 x =0 处可导 .
( f(
x)
C)当 f(
x )在 x =0 处可导时,
l
im =0.
x ➝0
|x |
(
D)当 f(
x )在 x =0 处可导时,
l
im
f(
x ➝0 x
x)
2 =0. 社
(
3)设函数 f(
x)在点(
0,0)处可微,
f(0,
0)= 0,
n= 版 f f
, ,-1
x y (
0,0)
非零向量a 与n 重
直,则
x,
|n·( y,f(
x,
出
y))| 存在
【 】
(
A)( ,l
i)
m( , )
x y ➝ 00
|n × (
x,
2
x +y
y,f(
x,
电
2
y))| 存在
.
(
B)( ,l
im , )
x y)➝ (
00 2
民
x +y
2
.
(
C)( ,l
im , )
x y)➝ (
00
x,
|a·( y,
2
邮
f(
x +y
x,
2
y))| 存在
.
(
D)( ,l
i)
人
m( , )
x y ➝ 00
|a × (
x,y,
2
f(
x +y
x,
2
y))| 存在
.
2020
-第 1 页（共 24 页）
∞
4)设 R 为幂级数 ∑anx 的收敛半径,
( r 是实数,则 【 】
n
n=1
∞ ∞
A)当 ∑a2nr 发散时,|r|≥ R .
( B)当 ∑a2nr 发散时,|r|≤ R .
(
2n 2n
n=1
∞
C)当 |r|≥ R 时,∑a2nr 发散 .
( 2n
社
n=1
∞
D)当 |r|≤ R 时,∑a2nr 收敛 .
( 2n
5)若矩阵 A 经初等列变换化成B ,则
(
n=1
版 n=1
【 】
(
A)存在矩阵 P,使得 PA =B .
(
C)存在矩阵 P,使得 PB =A .
出 (
B)存在矩阵 P,使得 BP =A .
(
D)方程组 Ax =0 与 Bx =0 同解 .
x -ɑ2 y -b2 z -c2
6)已知直线 L1 :
(
ɑ1
=
b1
=
c1
电 x -ɑ3 y -b3 z -c3
与直线 L2 :
ɑ2
=
b2
=
c2
相交于一点,法
ai
向量 αi = bi ,
i=1,
2,
邮 【 】
ci
民3.则
(
人
A)α1 可由 ɑ2 ,
α3 线性表示 .
C)α3 可由 ɑ1 ,
( α2 线性表示 .
(
B)α2 可由 ɑ1 ,
(
D)α1 ,
α2 ,
α3 线性表示 .
α3 线性无关 .
1
(
7)设 A,
B, 且 P(
C 为三个随机事件, A)= P(
B)= P(
C)= ,
P(AB)= 0,
P(AC)= P(
BC)=
4
1
,
则 A,
B, 【 】
1
2
(
3
A) .
C 中恰有一个事件发生的概率为
(
2
B) . (
1
C) .
社 (
5
D) .
(
4
8)设 X1 ,
3
Xn 为来自总体 X 的简单随机样本,其中 P {
X2 ,…,
版
X =0}=P {
2
X =1}=
12
1
,
Φ(x)表
出
示标准正态分布函数,则利用中心极限定理可得 P ∑Xi ≤55 的近似值为
100
2
【 】
(
A)1-Φ(
1).
电 (
i=1
B)Φ(
1).
(
C)1-Φ(
0.2).
民 (
D)Φ(
0.2).
邮
9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分 .
二、填空题:
(
9)l
im x
1
x ➝0
- (
e -1 l
1
)
n 1+x
= .
(
10)
人
2
x = t +1 d
,y =
2
.
d
2
x t=1
n(
y =l t+ t +1)
2
2020
-第 2 页（共 24 页）
(
11)若函数 f(
x )满 足 f (
″
x )+af (
'
x )+ f(
x )=0(
a > 0),
f(0)= m ,
f(
'
0)=n,则
∫ f(x)dx =
+∞
.
0
∫
2
f
(
12)设函数 f(
x,
a
y)=
0
xy
0
e d
xt
2
t,则
xy (1,1)
1
=
社
.
(
13)行列式
0 ɑ
-1
1 -1
=
版
.
-1
1
1
-1
a
0
0
a
出
(
14)设 X 服从区间 -
π π
,
2 2
i
Y =s
上的均匀分布,
电
nX ,则 Cov (
X,Y)= .
邮
15~23 小题,共 94 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
三、解答题:
(
15)(本题满分 10 分)
求函数 f(
x,
民
y)=x +8y -xy 的极值 .
3 3
人
社
(
16)(本题满分 10 分)
版
计算曲线积分I=
出
∫4x +y dx+4x +y dy,其中L 为x +y =2方向为逆时针方向.
4
x -y x +y 2 2
L
2 2
电 2 2
民
邮
人
2020
-第 3 页（共 24 页）
(
17)(本题满分 10 分)
1
an }满足 a1 =1,(
设数列{ n +1)
an+1 = n + an .
2
∞
证明:当 |x |<1 时幂级数 ∑ɑnxn 收敛,并求其和函数 .
n=1
社
版
出
(
18)(本题满分 10 分) 电
邮
设 为曲面z = x2 +y2 (
1≤ x +y ≤4)下侧,
2 2
f(x )为连续函数 .计算
∬xf(
I= [
xy)+2x -y]
民 d yf(
z+ [
yd xy)+2y +x ]
d zf(
zdx + [ xy)+z]
dxd
y
人
(
19)(本题满分 10 分)
设函数f(
x)在区间[
0,2]上具有连续导数,
f(0)= f(
2)= 0, x{
M = ma
社
|f(
x)|},
证明:
(Ⅰ )存在ξ ∈ (
0,2),使得 |f (
'
ξ)|≥ M .
版 x∈ [
0,2]
(Ⅱ )若对任意的 x ∈ (
0,2),|f (
'
出
x )|≤ M ,则 M =0.
电
民
邮
人
2020
-第 4 页（共 24 页）
(
20)(本题满分 11 分)
x1 y1
设二次型f(
x1,
x2)= x1 +4
2
x1x2 +4
2
x2 经正交变换 =Q 化为二次型g(
y1,
y2)=
x2 y2
2
ay1 +4 y2,
y1y2 +b
(Ⅰ )求 a,
b 值.
2
其中a ≥b.
社
(Ⅱ )求正交矩阵 Q . 版
出
电
邮
民
人
(
21)(本题满分 11 分)
α,
P= (
设 A 为二阶矩阵,
社
Aα ),其中 α 是非零向量且不是A 的特征向量 .
(Ⅰ )证明 P 为可逆矩阵 .
版
(Ⅱ )若 A2α +Aα -6α =0.求 P-1AP,并判断 A 是否相似于对角矩阵 .
出
电
民
邮
人
2020
-第 5 页（共 24 页）
(
22)(本题满分 11 分)
设随机变量 X1,
X2,
X3 相互独立,
其中 X1 与 X2 均服从标准正态分布,
X3 的概率分布为
1
P{
X3 =0}=P {
X3 =1}= ,
Y =X3X1 + (
1- X3)
X2
2
(Ⅰ )求二维随机变量(
X1 ,
Y)的分布函数,结果用标准正态分布函数 Φ(
社
x )表示 .
(Ⅱ )证明随机变量Y 服从标准正态分布 .
版
出
电
邮
民
(
人
23)(本题满分 11 分)
设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为
t m
-( )
1-e
θ
, t ≥0,
F(
t)=
0, 其他 .
其中θ,
m 为参数且大于零 .
(Ⅰ )求概率 P {
T >t}与 P {
社
T >s+t|T >s},其中s >0,
t >0.
版
(Ⅱ )任取 n 个这种元件做寿命试验,测得它们的寿命 分 别 为t1 , tn ,若 m 已 知,
t2 ,…,
求θ 的最大似然估计值^
θ.
出
电
民
邮
人
2020
-第 6 页（共 24 页）
2020 年全国硕士研究生招生考试数学 (一 )真题点评
一、选择题
(
1)D (
2)C (
3)A (
4)A (
5)B (
6)C (
7)D (
8)B
社
二、填空题 版 2
(
9)-1 (
三、解答题
10)- 2 (
11)n +am (
出
12)4e (
13)a (
2
a -4) (
2
14)
π
(
15)函数有极小值 f
1 1
,
6 12
=-
1
216
电 (
16)I =π
(
17)证明略;
S(x)=
1-x
2 邮 -2,(
-1< x <1)
(
14
18)I = π
3
民
(
19)略
人 4 3
-
5 5
(
20)(Ⅰ )a =4,
b =1 (Ⅱ )Q =
3 4
-
5 5
(
21)(Ⅰ )略 (Ⅱ )是
( X1 ,
22)(Ⅰ )F( Y)=
2
1 ( ) ( ) 1 ( )
Φ x1 Φ y + Φ y
2
x1 ≥ y 社 (Ⅱ )略
1
2
Φ(
x1 )
Φ(
1
y)+ Φ(
2
x1 ) x1 < y 版
( T >t}=e
23)(Ⅰ )P {
m
1
θ
n
t m
-( )
t >0)
(
出
P{
T >s+t|T >s}=e
s
( )
θ
s+t
m ( )
- θ
m
(
s >0,
t >0)
n∑ 电
^
(Ⅱ )θ= ti
m
i=1
民
测评项目
题型 邮
选择题 1~8 填空题 9~14 解答题 15~19 解答题 20~21 解答题 22~23 合计
建议用时
实际用时
人 30 分钟 25 分钟 75 分钟 25 分钟 25 分钟 180 分钟
得分
2020
-第 7 页（共 24 页）
考点分布表一(高等数学部分)
考 点 极限与连续 一元微分学 一元积分学 解析几何 多元微分学 多元积分学 无穷级数 微分方程
8 18 4 2 14
社 20 10 6
分 数
考点分布表二(线性代数部分) 版
考
分
点
数
行列式
0
矩阵
4 出
向量
7
方程组
8
特征值与特征向量
11
二次型
4
考 点 事件概率
9
电
考点分布表三(概率论与数理统计部分)
一维随机变量 二维随机变量
4 11
数字特征
4
抽样分布
0
参数估计
6
假设检验
0
分 数
邮
高等数学部分 13 道题,共 82 分,约占总分的 55% ;今年的试题紧扣大纲,以考查基 本 概
民
念、基本理论及基本计算方法为主,难度比 2019 年 的 试 题 大 .考 点 分 布 较 为 合 理,没 有 偏 题、
怪题 .(
1)是常见、常考题型,比较简单;(
题是考生最怕的题目;(
2)、(
3)题考查导数和可微的定义,得分率较低,概 念
11)题计算量比较大,里面有一定的侥幸成分,即 使 不 讨 论 a 的 范 围,
也能填对答案;( 16)及( 人
18)题是两道区别于数学二、三 的 题,以 两 道 大 题 考 查 曲 线 积 分 与 曲
面积分也是今年的一大特点,出乎部分考生的预料;(
无穷级数结合微分方程,属于基本运算;(
17)题命 题 方 式 中 规 中 矩,与 往 年 类 似,
19)题作为高等数学最 后 一 题,证 明 较 多,且 考 查 微
分中值定理,常规命题方式,今年亦是如此。因此 考 生 在 复 习 时 要 在 加 强 对 基 本 概 念 的 深 入
理解、基本定理的熟练应用和基本计算方法的练习 .
线性代数部分 5 道题,共 34 分,占总分的 22% 。知识 点 的 考 查 覆 盖 面 较 以 往 更 广,而 难
度适中,以基本题目为主 .( 5)主要考查了矩阵的初等变换,是基础考点;(
方程组的几何应用,连续两 年 考 查 了 这 个 知 识 点;(
算,是基本 题 目;(
13)主 要 考 查 了 四 阶
6)主要考查了线性
数字型行列式的计 社
20)主 要 考 查 了 二 次 型 的 正 交 变 换 以 及 实 对 称 矩 阵 的 相 似 对 角 化,是 考 研
数学的难点题型;( 版
21)主要考查了矩阵可逆性的 判 别,矩 阵 的 间 接 相 似 对 角 化,是 考 研 数 学
的重点题型 .总的来说,计算量不大,主要在于思路的考查 .
出
2020 年考研 概 率 论 与 数 理 统 计 部 分 试 题 相 对 常 规 .从 题 型 方 面 来 看,与 往 年 保 持 一 致,
仍是涵盖了选择题、填空题以及 解 答 题 这 三 部 分 .其 中 在 选 择 题 的 部 分 仍 是 后 两 道:
填空题仍是后一道 14 题;解答题仍是后两道 22、
7、8 题;
23 题 .题 目 设 置 和 分 值 与 往 年 相 同 .从 考 点
电
来看,第 7 题考查的是概率的性质与公式;第 8 题是将数字特征与中心极限定理相结合;第 14
题考查的是随机变量函数的数字特征计算;解答 题 第 22 题 仍 是 考 查 了 概 率 分 布(离 散、连 续
民
的混合情况下计算分布函数),并涉及到了相关性与独立性的判断;第 23 题是参数估计,考查
了点估计中的最大似然估计,后两 道 分 值 较 高 的 大 题,与 历 年 试 题 中 考 点 基 本 一 致 .由 上 分
邮
析可知,就整 体 难 度 而 言,今 年 数 学(一)概 率 论 与 数 理 统 计 部 分 难 度 不 大,依 然 没 有 跳 出 我
们复习的范围,依然是对基本概念、基本方法、基本计算的考查 .
理统计部分题目的综合难度为:中等偏易 .
2020 数学(一)中概率论与数
人
2020
-第 8 页（共 24 页）
一、选择题
(
1)D
【考点定位】无穷小比较,变上限积分求导 .
【思路探索】判断题中四个选项分别是 x 的多少阶无穷小,并对阶数进行比较 .
社
x →0+ 时, 版
∫(e -1)dt'=e -1~ x
x
(
A)
2 2
0
t
∫e -1)dt 是x 的 3 阶无穷小 .
∴ (
x 2
t
x 2
出
(
0
∫n(1+ t )dt'=ln(1+ x )~ x
B) l
x
0
3 电 3
3
2
∫n(1+ t )dt 是x 的 2 阶无穷小 .
∴ l
x
0
5 3
邮
(
C)
∫ sintdt'=sin(sinx)·cosx ~ x
s
i
0
nx
2
民 2 2
∫ sintdt 是x 的 3 阶无穷小 .
s
inx
∴
0
人
2
∫
3
1-c
osx 3
1
(
D) t' = ( sx) s
2
s
intd 1-c
o i
nx ~
3 4
x
2
0 2
∫
1-c
osx
∴ s
intd
t 是x 的 5 阶无穷小 .
3
0
D).
故应选(
① 本题是经典题型;
社
② 由l
im
f(
x
x)
α =l
im
x →0 α
'(
f
x
x)
( )可得 f
α-1 =C ≠0 '(x)是 x 的α -1 阶无穷小,
f(
版
x)是 x 的α 阶
x →0
无穷小;
+
③ 本题若采用两两比较,运算量较大 .
+
出
(
2)C 电
【考点定位】导数的定义 .
【思路探索】利用导数的定义,推导极限的存在性 .
民
∴f(
当 f(
0)=l
x)在 x =0 处可导时,
imf( x)=0.因此有l
f(
im
x)在 x =0 处连续 .
f(
x)
'(
=f 0)
邮
故l
im
x ➝0
x ➝0
f(x)
|x |
=l
im
x ➝0
x ➝0
f(
x)
x
·
人 x
x
|x |
'(
=f 0)·0=0
C).
故应选(
2020
-第 9 页（共 24 页）
A)和(
选项( B)中若 f(
0)≠0,即 f(
x)在 x =0 处不连续,则 f(
x)在 x =0 处不可导 .
f(
x) f(x) f(
x) x '(
f 0),x➝0 +
D)
选项( l
im =lim =lim · = '(
,若f 0)≠0,则极限不存在 .
x➝0
x
2 x➝0 |x | x➝0 x |x| -f'(0),
x➝0-
此类题目紧扣定义,并充分结合极限、连续、可导之间的关系
社
①f(
x)在 x =0 处连续 ⇔l
imf(
x)=f(
② 可导 ⇒ 连续,不连续 ⇒ 不可导 .
0)
x ➝0
版
(
3)A 出
【考点定位】可微的定义 .
【思路探索】根据可微的定义,结合向量点乘、叉乘判断 .
电
f(
x,y)在 0 处可微,则有 邮
f(
x,y)=f(
0,0)+fx (
=fx (
0,
0,
0)
0)
x +fy (
x +fy (
0,
0,
0)
0)
民
y +o( x +y )
y +o( x +y )
2 2
2 2
x,
(
im , )
l
y)➝ (
00
|n(
x,
⇀
y,
2
人
x,
f(
x +y
2
y))|
=(x,l
im , )
y)➝ (
00
0,
|xfx (
2
0,
0)+yfy (
x +y
x,
0)-f(
2
y)|
|o( x +y )|
2 2
=(x,l
i m( , ) 2 2
=0
x +y
)
y ➝ 00
A).
故应选(
社
①f(
x,
本题考查可微的定义,同时涉及向量的点乘和叉乘,处理题目时要紧扣定义 .
y)在(
0,0)处可微 ⇔f(
x,y)-f(
0,0)=fx (
0,0)
x +fy (
0,0)
版
y +o( x +y )
2 2
② 若非零向量 a = (
ax ,
ay ,
⇀
az ).
b=(
bx ,
by ,
⇀
出 ⇀ ⇀
bz )则 a·b =axbx +ayby +azbz
(
4)A
【考点定位】收敛半径 .
电
【思路探索】利用收敛半径的定义,求选项收数的收敛半径 . 民
R 为幂级数 ∑anx 的收半径敛 .
n
n=1
∞
邮
得l
im
n→ ∞
an
an+1 人
=R ,进而有l
∞
im
a2n
n→ ∞ a2n+1
·
lim
a2n+1
n→ ∞ a2n+2
=R
2
对于幂级数 ∑a2nx2n
n→1
2020
-第10页（共 24 页）
2n 2
a2n+2x + a2n+2 a2n+1 |x |
2
l
im =|x |l
im
2
· = <1⇒|x |< R
n→ ∞ a2nx
2n
n ∞ → a2n+1 a2n R
2
∞
∴ ∑a2nx 的收敛半径为 R ,∴ 收敛区间为(
-R ,
R)
2n
n=1
∞
∴ 当 ∑a2nr 发散时,有 |r|=R 或 |r|> R .故应选(
2n
n=1
A).
社
版
∞
出 ∞
本题常见错误:∑anxn 的收敛半径为 R ,则 ∑a2nx2n 收 敛 半 径 为 R .考 生 处 理 这 类 问
题,紧扣收敛半径的定义式,细心推算,就不会出错 .
n=1 n=1
(
5)B
电
【考点定位】矩阵的初等变换 . 邮
民
【思路探索】对矩阵进行一次列变换相当于右乘一个相应的初等矩阵 .
A 经过初等变换化成矩阵B,所以存在可逆矩阵P1 ,使得AP1 =B,所以A =BP1- ,令P=P1- ,
1 1
则 A =BP,故应选(
B). 人
矩阵的初等变换是线性代数的核心内容 .对矩阵进行一次行/列变换相当于左乘/右乘
一个相应的初等矩阵 .
(
1)规范形中“
二次型的规范形是考研重点。本题涉及到如下考点,请大家掌握:
1”的个数 = 正惯性指数 = 正特征值的个数;
-1”的个数 = 负惯性指数 = 负特征值的个数 .
社
(
规范形中“
2)特征值的和 = 矩阵的迹;特征值的乘积 = 矩阵的行列式 . 版
(
6)C
【考点定位】线性方程组的几何应用 .
出
【思路探索】利用两条直线的位置关系,得到方程组的解的情况,进而得到法向量的线性关系 .
x -a2 y -b2 z -c2
电
令 L1 :
a1
=
b1
=
c1
民 =t,即
x
a2
有 y = b2 +t b1 =α2 +t
a1
邮
α1 .由 L2 方程可得 y = b3 +t b2 =α3 +t
α2
a3
x
a2
z
c2
人
由 于两直线相交,即存在t 使得α2 +t
c1
α2 ,即α3 =t
α1 =α3 +t α1 + (
1-t)
z
c3
α2 ,所以α3 可由α1 ,
α2
c2
C).
线性表示 .故应选(
2020
-第11页（共 24 页）
本题出错率比较高,主要在 于 解 题 思 路,也 就 是 不 理 解 线 性 方 程 组 和 解 析 几 何
问题的结合 .
社
与解析几何的结合可以看成线性方程组的一种变形考查,这种题型 2019 年刚刚考查过 .
请大家掌握以下内容:
① 如果两条直线相交于一点,则对应的方程构成的方程组有唯一解;
版
② 如果两条直线平行,则对应的方程构成的方程组无解;
③ 如果两条直线重合,则对应的方程构成的方程组有无穷解 . 出
(
7)D
【考点定位】随机事件的关系与概率运算 .
电
【思路探索】分别计算 A ,
B, 邮
C 三个事件中,某个事件发生另外两个不发生的概率,再求和 .
=P (
P(
ABC)+P (
民
ABC)+P (
B ∪ C))+P (
A∩(
A BC)
A ∪ C))+P (
B∩( A ∪ B))
C∩(
=P (
=[
P(
人
A )-P (
A∩(
A )-P (
B ∪ C))+P (
AB ∪ AC)]+ [
B)-P (
P(
B∩(
B)-P (
A ∪ C))+P (
C)-P (
BA ∪ BC)]+ [
P(
C∩(
A ∪ B))
C)-P (
CA ∪ CB)]
=[
P(A )-P (
AB)- P (
AC)+ P (
ABC)]+ [
P(B)- P (
AB)- P (
BC)+ P (
ABC)]+
[
P(C)-P (
AC)-P (
BC)+P (
ABC)]
=
1
4
-0-
1
12
+0 +
1
4
-0-
1
12
+0 +
1
-
1
-
4 12 12
1
+0社
=
1
6
+
1
+
6 12
1
版
=
5
12
出
D).
故应选(
电
民
本题为随机事件概率计算的基本 题 型,考 生 应 从 问 题 出 发,分 析 出 A ,
B,C 中恰有一个
事件发生包含着 P (
-AB)=P (
ABC),
A )-P (
P(
邮
BAC),
AB),
P(
P(CBA )三种情况,利用概率计算公式 P (
A +B)=P (
A )+P (
B)-P (
AB)=P (
A
AB)分别计算出三种情况的概率,
再求和即可求解 .
(
8)B
人
【考点定位】数学期望和方差的计算,中心极限定理 .
2020
-第12页（共 24 页）
100
【思路探索】计算
∑Xi 的数学期望和方差,再利用中心极限定理 .
i=1
1
X =0)=P (
∵P ( X =1)=
2
∴X 服从 0-1 分布,其中 p =
1
2
,
q=
1
2
社
∴E(
X )=
1
2
,
D(
1 1 1
X )= × =
2 2 4 版
又 ∵X1 ,
X2 ,…,
Xn 为来自总体 X 的简单随机样本
100
∴E(∑Xi)=E(
X1 )+E(
X2 )+ … +E(
X100 )
出
i=1
=100·E(
X)
电
=100×
1
2
邮
100
D (∑Xi)=D (
X1 )+ D (
=50 民
X2 )+ … + D (
X100 )
i=1
人
=100·D (
X)
1
=100×
4
=25
由中心极限定理有
100
∑X ~ N (50,25)
社
i=1
i
100
100
∑X -50
版 100
∑X -50
∴P ∑X ≤55 =P
i=1
i i=1
i
5
≤ 出
55-50 =P
5
i=1
i
5
≤1
=Φ(
1)
B).
故应选(
电
民
本题是一道综合题,将数学期望,方差的计算与中心极限定理进行结合,考核了独立同分
邮
布随机变量和的期望与方差计算方法,考核了中心极限定理,此题最后进行 概 率 计 算 时,还 考
核了如何将普通正态分布转换到标准正态 分 布 .值 得 考 生 注 意 的 是:综 合 题 的 不 同 解 题 步 骤
人
之间紧密关联,第一步期望与方差的计算 结 果 是 否 正 确,严 重 影 响 着 后 一 步 中 心 极 限 定 理 的
计算 .
2020
-第13页（共 24 页）
二、填空题
(
9)-1
【考点定位】∞-∞ 型极限 .
【思路探索】统分化差为积商,再利用等价无穷小替换和洛必达法则 .
l
im
1
x ➝0e -1 l
x - (
1
n 1+x)
lim
=
l 1+x)- (
n(
x➝0 (e -1)
x
l 1+x)
n(
e -1)
x
社
l
=im
n(
l 1+x)-e +1
x
2
x
=l
im
1
1+x
2x
版
-e
x
l
=
x ➝0
im
-
(
1
1+x)
出 x ➝0
2 -e
x
=-1.
故应填 -1.
x ➝0
电 2
邮
本题难度较小,思路清晰,计算较易 .
民
① 洛必达法则可解决七种未定型极限:
0 ∞
, ,∞ ·0,∞-∞ ,
0 ,∞ ,
0 0
1 .前四种相对交易,后三种运算量大 .
∞
0 ∞
人
② 本题也可用泰勒公式计算:
l 1+x)=x -
n(
1 2
2
x +0(
x ).
2 1 2
e =1+x + x +0(
x
2
x )
2
1 2 1 2
x +0(
x ) - 1+x + x +0(
x )
2 2
x-
n(
l 1+x)-e +1 2 2
x
∴l
im 2 =l
im 2
x ➝0 x x ➝0 x
=l
im
x ➝0
-x +0(
x
2
2
x )
2
=-1.
社
(
10)- 2
【考点定位】参数方程确定函数的二阶导数 .
版
【思路探索】利用参数方程的二阶导数公式计算 . 出
dx
dt
t
= 2
t +1
d
,y =
d
t
1
2
t +1
d
,y = y·
dx
d
dt d
t 1
d
x 电
= .
t
dy
dx
2
2 =
d 1
dx t
=
d 民
d 1
t t
·
d
t
dx
1
=- 2 ·
t
t +1
t
=
- t +1
t
3
2
.
2
∴
dy
2
dx t=1
2
邮
=- 2.故应填 - 2.
人
本题知识点清晰,计算量不大,是一道送分题 .
2020
-第14页（共 24 页）
(
11)n +am
【考点定位】二阶线性常系数齐次方程,反常积分 .
【思路探索】先求方程的通解以及一阶导数的极限,再求反常积分 .
微分方程的特征方程为λ2 +aλ +1=0.
1)若 △ =a -4>0,即 a >2,则λ1 +λ2 =-a,
( 2
∴λ1 <0,
λ2 <0,方程通解为 f(
x)=C1e
λ1λ2 =-1.
λ1x λ2x
社
'(
∴f x)=C1λ1e
λ1x
+C2λ2e
λ2x
,有limf(
x ➝+∞
x)=limf
x ➝+∞
'(
版
+C2e
x)=0
(
2)若 △ =a -4=0,即 a =2,则λ1 =λ2 <0,
方程通解为 f(
x)= (
2
C1 +C2x)
e =C1e +C2xe ,
1 1 1
λ x 出
λ x λ x
'(
f x)=C1λ1e + (
1
C2 +C2λ2x)
λ x
e
C1λ1 +C2 )
=( e
2
λ1x
+C2λ2xe
电 λ x
λ2x
,
有limf(
x ➝+∞
x)=limf
x ➝+∞
'(
x)=0. 邮 a 4-a
2
3)若 △ =a -4<0,即 a >2,则 γ1,2 =-
( 2
民 a
4-a
2
2
±
4-a
2
i.
2
方程通解为 f(
'(
f x)=e
x)=e
2
人 a
- 2x C2 4-a -aC1
c
- x
o
s
4-a
22
x-
o
C1cs
2
C1 4-a +aC2
s
x +C2s
n
i
4-a
i
2
n
x .
2
x ,
2
2 2 2 2
有limf( x)=limf '(
x)=0.
x ➝+∞ x ➝+∞
∫ ∫
+∞ +∞ +∞
综上,有 f(
x)dx = ″(
- f x)+af
'(x)dx =- f
'(x)+af(
x)
0
=- xl
0
imf
➝+∞
'(
x)+alimf(
x ➝+∞
x) + f
'(0)+af(
0) 社 0
故应填 n +am .
=n +am .
版
出
①
本题思路清晰,但计算量大,考生平时要训练自己的计算速度,注意下列两个知识点:
特征方程λ2 +pλ +q =0 的根λ1λ2 电 ″+py
微分方程的 y '+qy =0 的通解
民
两个不相等实根 γ1 ,
γ2
两个相等实根 γ1 =γ2
y =C1e
y =(
C1 +C2x)
e
γ1x γ2x
+C2e
γ x
邮
1
一对共轭复根 γ1,2 =α ±β
i y =e (
C1c
osβx +C2s
inβx)
αx
② 若 F(
x)是 f(
x)的原函数,则
人
∫ f(x)dx =F(x)
+∞
0
+∞
0
imF(
=xl
➝+∞
x)-F(
0).
16).相似度极高 .
③ 请读者自行查看 2016 年数学一(
2020
-第15页（共 24 页）
(
12)4e
【考点定位】变上限积分函数求导,二阶偏导数 .
【思路探索】先求一阶导数,再求二阶偏导数 .
∂f
∂y
=xe
2
xy)
x(
=xe ,
3 2
x y ∂f
∂y∂x
=e
3 2
x y
2
+3x y e
3 2
3 2 x y
=e (
3 2
x y
1+3x y )
3 2
社
∴
∂f
2
=
∂f
∂x∂y (1,1) ∂y∂x
2
(
1,1)
=4e. 版
故应填 4e.
出
∂
电
本题综合考查偏导数和变限积分的导 数,并 利 用 “二 阶 混 合 偏 导 数 若 连 续”则 相 等 的 结
论 .若光计算 f 运算量会大 .
(13)a (
∂x
a -4)
邮
2 2
【考点定位】四阶数字型行列式的计算 . 民
【思路探索】利用每列元素之和相等的规律,先求和,提出公共因子,再进一步计算 .
原式=a
人
1
0
1
a
1
1 -1
1
=a
1 1
0 a
1
1
1
-1
a 1
=a 2 a +1
-1
1
-1 1 a 0 0 2 a +1 1
0 a a
1 -1 0 a 0 0 a a
a 2 -1
1 =a (a -4)
故应填 a2 (
=a 2 a
2
0 0
a -4).
2
1
2 2
社
版
是基础题型 .
对于数字型行列式,每行元素之和相等或者每列元素之和相等,是考研中的热点,但是也
出
(
14)
2
π
电
民
【考点定位】随机变量函数的数学期望,协方差计算 .
邮
【思路探索】利用均匀分布概率密度函数,协方差计算公式 Cov(
开计算 .
由 X 服从区间(
-
X,
π π
Y)=E(
XY)-E(
, )上的均匀分布
X)E(
Y)展
人 1
x)= π
可得 X 的概率密度函数为f(
, -
π
2
2 2
<x <
π
2
,
0, 其他 .
2020
-第16页（共 24 页）
由协方差计算公式,可得
X,
Cov( Y)=E(
XY)-E(
X )·E(
Y)=E(
X ·s
inX )-E(
X )·E(
sinX )
∫ ∫ ∫
π π π
1 1 1
nx · dx · πs nx · dx
2 2 2
= xs
i dx - x i
π
-2 π π
-2 π -2 π
=
∫
2
π 0
π
2
xs
inxdx -0 社
=
∫xd(-cosx)
2
π
π
2
0 版
∫
π π
2
=
=
π
∫
2
· x(
c
o
-c
π
2
sx) - (
o
2
0
sxdx =
0
2
2
o
-csx)
dx
出
故应填
2
π
.
π 0 π
电
邮
g(
X ),
民
考生应记住均匀分布的概率密度函数和协方差基本计算公式,在此基础上重点掌握若Y=
E(Y)= E[
g(X )]=
∫ g(x)f(x)dx,针对 E(XsinX)和 E(sinX),利用积分计算连
+∞
人
续型随机变量函数的数学期望 .
-∞
三、解答题
(
15)【考点定位】二元函数无条件极值 .
【思路探索】先求函数的驻点,再利用极值的充分条件求极值 .
1
x= ,
社
f =3x -y =0
2
, 6
令
'
x
得
x =0
fy =24y -x =0 y =0.
' 2
或
1
y= .
12
版
又 f″xx =6x ,
fxy =-1,
″
fyy =48y.
″ 出
0,
在( 0)处,
A =0,
1 1
,
B =-1,
A =1,
AC -B <0,不取极值;
C =0,
B =-1,
C =4,
2
AC -B >0,
2
A >0.
电
民
在 处,
6 12
1 1 1
∴ 函数有极小值 f ,
邮
6 12
=-
216
.
人
本题属于基础题,难度较 小,计 算 较 易,知 识 点 单 一,直 来 直 去 .考 生 务 必 做 好 基 础 题,这
是保分的 .
2020
-第17页（共 24 页）
(
16)【考点定位】第二类曲线积分,格林公式 .
【思路探索】构造可以使用格林公式的积分路径,利用格林公式计算曲线积分 .
4x -y ∂Q y -8xy -4x ∂P
2 2
x +y
令 P(
x,y)= 2 , ( ,)
2 Q x y =
,则 = =
4x +y 4x +y ∂x (
4x +y ) ∂y
所以积分与路径无关 .
2 2 2 2 2
社
取 L1 :
4x +y =ε (
2 2 2
ε →0+ ),取逆时针方向,
D,D' 如图所示 .则
版
∫ 4x +y dx +4x +y dy+∫ 4x +y dx +4x +y dy
4
x -y x +y 4
x -y x +y
I=
L+L1
- 2 2 2 2
L1
2
出
2 2 2
∫ 4x +y dx +4x +y dy =∬0dσ =0
4x -y x +y
而
L+L1
- 2 2 2 2
电D
∫ 4x +y dx +4x +y dy =ε∫ (4x -y)dx + (x +y)dy
4x -y x +y 1
L1
2 2 2 2
邮 2
L1
∬
1 1 ε
σ = 2 ·2π·ε· =π
民 = 2 2d
ε D' ε 2
人
本 题 在 历 年 真 题 中 的 难 度 中 等 偏 上 ,也 是 数 学 一 区 别 于 数 学 二 、三 的 题 目 .解 题 思 路 与
方 法 中 规 中 矩 ,不 偏 不 倚 ,只 是 补 线 ,使 用 格 林 公 式 .难 度 在 于 :为 什 么 选 取 L1 :
4x +y =
2 2
ε(
ε →0+ )? 原 因 两 点 :① 往 年 真 题 出 现 过 ,请 查 找 2000 年 数 学 一 ;② 令 4x +y = ε ,被
2 2 2 2
积 表 达 式 分 母 可 化 为 常 数 ,后 面 部 分 易 于 计 算 .
本题又一次说明往年真题的重要性!
(
17)【考点定位】幂级数,微分方程 .
【思路探索】先求幂级数的收敛半径,再求和函数 .
社
ρ =l
im
an+1
=l
im
n+
1
2
版
证明:
所以,收敛半径为 R =
n➝ ∞ an n➝ ∞ n +1
=1.
1
=1,即当 |x |<1 时,幂级数 ∑anx 收敛 .
n
出 ∞
x)= ∑anx ,(
令 S( n
|x |<1)则
∞
ρ
电 n=1
'(
S
∞
n=1
x)= ∑nanx - =a1 + ∑nanx - =a1 + ∑ (
n 1
民
n +1)
an+1x
∞
n 1
∞
n
n=1
=a1 + ∑ (
n+
∞
n=1
邮 1
2
n=2
1
anx =1+ ∑nanx + ∑anx
) n
n=1
n
2 n=1
n
∞
n=1
∞
=1+
1
2
人
S(
x)+xS
'(x)
1 dS(
x) dx
1+x)
即( S'(
x)=1+ S(
x),这是可分离变量的微分方程,分离变量, = ,积
2 2+S( x) 2(
1-x)
2020
-第18页（共 24 页）
1
n|2+S(
分,得l x)|=- l n|C| (
n|1-x |+l C 为常数)
2
C
整理得 S(
x)= -2,(
C 为常数)
1-x
又 S(
0)=0,得 C =2.因此有 S(
x)=
2
1-x
-2,(
-1< x <1). 社
版
本题是一道典型的幂级数与微分方程相结合 的 考 题,证 明 部 分 思 路 明 确,计 算 和 函 数 部
出
分比较困难 .难 度 在 于 推 导 微 分 方 程,推 倒 时 往 往 先 求 导,充 分 注 意 系 数 的 变 化,结 合 (
1
n+
1)
an+1 = n +
2
an ,通过拆分,实现 S(
x),
S'(
电
x)的关系式 .
考生还应注意一点 .此类题目往往包含初始条件,而该条件就隐藏在级 数 中,一 般 情 况 是
x =0 处的值 .
20)题和 2013 年数学一(
同类真题请考生查阅 2007 数学一(
邮
16)题 .
(
18)【考点定位】第二类(对坐标)的曲面积分 . 民
人
【思路探索】利用两类曲面积分之间的联系计算 .
由 z = x2 +y2 ,∴z'x =
x
2
x +y
2
,
zy =
'
x +y
y
2 2
.
曲面上任意一点的法向量 n = (
zx ,
zy ,-1),|n|= 1+zx +zy = 2
' ' 2 ⇀ 2 ⇀
1 x 1 y 1
其方向余弦为 c
osα = ,
cosβ = ,
cosγ =-
yd
由d s·c
z =d osα ,
d s·c
zdx =d osβ,
dxd s·c
y =d osγ
2 x2 +y2 2 x2 +y2
社 2
.
yd
得d z=
c
c
o
sα
osγ
dxd
y =- 2
x
x +y
2
y,
dxd zdx =
d
c
c
o
o
sβ
sγ
dxd
y =- 2
y
x +y
2
dxd
y.
版
∴I=
∬ ( ( )
y -x)
xf xy +2 ·
-x
+(
yf(
xy)+2
y -x)
·
-y
+(
zf(
xy)+z) d
xdy
出
=-
∑
∬ x +y dxdy.
2
2
x +y
2
2
2
x +y
2
电
∑
又曲面 ∑ 在 x0y 面的投影为 Dxy : 民
邮
1≤ x +y ≤4.取下侧
2 2
∬ ∫∫
2π 2
14
∴I = x +y dxd θ r·d
d r = π.
2 2
y=
0 1 3
Dx
y
人
2020
-第19页（共 24 页）
本题思路明显,工具指向性强,计算量中档偏上,曲面积分类正常题型 .
∂P ∂Q ∂R
因 为被积表达式中有未知函数,且 + + 中也包含有未知函数,所以不考虑直接
∂x ∂y ∂z
往三个坐标面投影,也不能运用高斯公式,只能使用两类曲面积分之间的联系来处理 .
① 曲面法向量的方向余弦为(下侧则加负号)
社
c
osα =-
zx
1+z +z
2
x
2
y
,
cosβ =-
zy
1+z +z
2
x
版
2
y
,
cosγ =
1
1+zx +zy
2 2
.
② 两类曲面积分的关系:
sc
d o
sα =d
ydz,
dsc
o zdx ,
sβ =d dsc
osγ =dxd
y.
出
从而 d
yd y,
z =-zxdxd d
zdx =-zydxd
y.
电
第二类曲面积分既可转化为第一类,也可转化 为 对 某 一 个 坐 标 平 面 上 坐 标 的 积 分 .本 题 就
用了后者 .
邮
③ 类似处理问题方式,请参看《高等数学》第七版(下册)
231 页例 3.
( 民
19)【考点定位】微分中值定理 .
【思路探索】用拉格朗日中值定理证明(Ⅰ ),用反证法证明(Ⅱ ).
人
(Ⅰ )若 M =0,则 f(
若 M >0,设 |f(
x)=0,结论成立 .
0<c <2)处取得最大值,即 |f(
x)| 在c( c)|=M .
若 0<c <1,由拉格朗日中值定理,存在ξ1 ∈ (
0,c),使得
f(
c)-f(0) M
'(
f ξ)= = ,
c-0 c
'(
从而 |f ξ)|=
M
c
> M;
社
'(
若c =1,|f ξ)|=M ;
若 1<c <2,由拉格朗日中值定理,存在ξ2 ∈ (
c,2),使得
版
'(
f ξ)=
f( 出
2)-f(
2-c
c) -M
=
2-c
,
'(
从而 |f
M
ξ)|=2-c > M . 电
'(
M ≥0 时,总有 |f
综上,
民
ξ)|≥ M (
(Ⅱ )若 M >0,则c ≠0,
2
ξ∈ (
0,2)).
有 M =|f(
c)|=|f( 邮
c)-f(
0)|=
∫f'(x)dx ≤∫|f'(x)|dx < Mc,
c
0
c
0
①
人 ∫'(x)dx ≤∫|f'(x)|dx < M (2-c).
2 2
另 M =|f(
c)|=|f(
2)-f(
c)|= f ②
c c
① + ② 得 2M < Mc+ M (
2-c)=2M
矛盾 .∴M =0.
2020
-第20页（共 24 页）
(Ⅰ )的思路比较清晰,只能用拉格朗日中值定理,并分类讨论 .函数和一阶导数联结的纽
带为拉格朗日中值定理 .
(Ⅱ )题,一般采用反证法,将导数和原函数结合的工具是牛顿-莱布尼兹公式,在(Ⅰ )的
基础上通过定积分的性质构造矛盾 .
同类题目参见山东科学技术出版社《高等数学精选精解》(第二版)
109 页 366 题 .
社
(
20)【考点定位】二次型的正交变换以及实对称矩阵的相似对角化 .
版
出
【思路探索】二次型经过正交变换变成新的二次 型,前 后 对 应 的 实 对 称 矩 阵 是 相 似 的 关 系 .通 过
两个矩阵的相似对角化,可以实现二者的相似关系 .
(Ⅰ )设 f =xTAx,其中 A =
1
电
-2
-2 4
,经正交变换 x =Qy,则
邮
f =y Q AQy =y By,其中 B =
T T T
a 2
2 b
民
可知 QTAQ =Q-1AQ =B,即 A 相似于B,则
r(
t A)=t
r(B),|A|=|B|
人
ab =4,解得 a =4,
即 1+4=a +b,
(Ⅱ )设 P1-1AP1 =Λ ,
b =1.
P2- BP2 =Λ 则
1
-1
P1P2- A P1P2- =B,
1 1
因此 Q =P1P2-1 .
λ -1 2
由 |λE -A|=
2
-1
λ -4
2
=0,解得λ1 =0,
1 -2
λ2 =5,
社
0E -A)=
于是(
5E -A)=
(
4 2
2
→
-4
2 1
0 0
,得ξ1 = (
2,1)
T
1,-2) ,即 P1 =
,得ξ2 = (
版 2
1
(
0E -B)=
2 1
-4 -2
→
0 0
2 1
T
,得η1 = (
出
1,-2)
1 -2
.
(
5E -B)=
-2 -1
1
-2 1 -2
→
0 0
,得η2 = (
2,
电
1) ,即 P2 =
T
1 2
→
民 .
T
-2 4 0 0 -2 1
所以 Q =P1P2-1 =
4
-
5
5
3
邮 -
3
4
5
5
.
人 本题的主要错误是考生没有理解二次型经过正 交 变 换 变 成 另 外 一 个 二 次 型,对
应的矩阵的之间的关系 .从而没有得到二者的相似关系 .
2020
-第21页（共 24 页）
二次型的正交变换是考研数学的重点和难点 .要 特 别 注 意 的 是,二 次 型 经 过 非 退 化 线 性
替换,对应的矩阵是合同的关系,而如果经过正交变换,则是相似关系 .
(
21)【考点定位】矩阵可逆性的判别,矩阵的间接相似对角化 .
【思路探索】第一问利用列向量的线性无关判别矩阵可逆;第二问利用A 的相似矩阵,间接判别对
社
角化问题 . 版
(Ⅰ )α 是非零向量且不是A 的特征向量,则 Aα ≠kα ,即 Aα 与α 线性无关 .所以r(
P)=2,
矩阵 P 可逆 .
(Ⅱ )设 P-1AP =B,则 AP =PB,即
出
A(
α,Aα)= (
Aα ,
A α)= (
2
Aα ,
6α -Aα)= (
α,
电
Aα)
0 6
1 -1
所以 P-1AP =B =
0
6 邮
,即 A ~ B.由
1 -1
|λE -B|=
λ
民
-6
-1 λ +1
=(
λ +3)(
λ -2)=0
人
λ2 =2.因为λ1 ≠λ2 ,所以 B 可以相似对角化,则 A 可以相似对角化 .
得λ1 =-3.
1.矩阵 可 逆 的 充 要 条 件 有 很 多,比 如 行 向 量 线 性 无 关,或 者 列 向 量 线 性 无 关 等 等 .
2.矩阵相似是考研数学线代部分的重点和难点 .请考生务必掌握以下结论:
(
1)A ,
B 相似 ⇔P- AP =B⇔AP =PB,
1
P 可逆 .
(
2)A ,
B 相似的必要条件有:
①A ,
B 有相同的特征值、行列式、秩、迹;
社
(
②kA ~ kB,
A ~B ,
22)【考点定位】二维随机变量的分布函数 .
m
f(A)~ f(
m
B),
A ~B ,
A
版T T -1
~B ,
-1
A ~B .
* *
【思路探索】第一问,利用基本公式 F(
x,y)=P {
X1 ≤x , 出
Y ≤y},代入离散型随机变量 X3的不
同 取值及其对应概率,展开求分布函数,第二问同理,按照 X3不同取值,将FY (
y)=P {
Y ≤y} =
P{
X3 (
X1 - X3 )+ X2 ≤ y}展开进行证明 .
电
F( 民
(Ⅰ )由二维随机变量的分布函数的定义,可得
X1 ,
Y)=P {
X1 ≤ x1 ,
Y ≤ y}=P {
X1 ≤ x1 ,
X3X1 + (
1- X3 )
X2 ≤ y}
∵P {
∴F(
X3 =0}=P {
X1 ,
Y)= P{
邮
X3 =1}=
X3 = 0,
X1 ≤ x1 ,
1
2
,则可进行离散型随机变量不同取值分情况代入
X3X1 + (
1-X3)
X2 ≤y}+P{
X3 = 1,
X1 ≤x1 ,
X3X1 + (
1-
人X3)
=P {
X2 ≤y}
X3 =0,
X1 ≤ x1 ,
X2 ≤ y}+P {
X3 =1,
X1 ≤ x1 ,
X1 ≤ y}
(
X1 ,
X2 ,
X3 相互独立)
2020
-第22页（共 24 页）
= P{
X3 = 0}·P{
X1 ≤ x1}·P{
X2 ≤y}+P{
X3 = 1}·P{ n(
X1 ≤ mi x1 ,
y)}
1 1
= X1 ≤ x1 }·P {
P{ X2 ≤ y}+ P { n(
X1 ≤ mi x1 ,
y)}
2 2
1 ( ) ( ) 1 ( )
x1 ≥ y
Φ x1 Φ y + Φ y
=
2
1
2
x1 )
Φ( Φ(
2
1
x1 ) x1 < y
y)+ Φ(
2
社
(Ⅱ )证明:
F(
Y)=P {
X3X1 + (
1- X3 )
X2 ≤ y}
版
=P {
X3 =0,
=P {
X3X1 + (
X3 =0,
1- X3 )
X2 ≤ y}+P {
X2 ≤ y}+P {
X3 =1,
X1 ≤ y}
X3 =1,
X3X1 + ( 出
1- X3 )
X2 ≤ y}
X3 =0}·P {
=P {
1
Φ(
1
y)+ Φ(
X3 =1}·P {
X2 ≤ y}+P {
y)=Φ(
y)
X1 ≤ y}电
=
2
∴Y 服从标准正态分布 .
2
邮
民
人
考生针对此类即含有连续型,又含有离散型 随 机 变 量,混 合 变 量 表 达 的 随 机 变 量 分 布 函
数问题,有效的解法是按照离散型随机变量不同取值代入后展开,利用概率 计 算 公 式,获 得 仅
含有连续型随机变量的表达,再进一步利用连续型随机变量的已知条件即可求解 .
(
23)【考点定位】概率的性质与公式,最大似然估计 .
【思路探索】第 一 问 利 用 基 本 概 率 计 算 公 式 P {
T >t}= 1- P {
T ≤t}和 条 件 概 率 计 算 公 式
P{
T >t+s|T >s}=
P{
T >t+s,T >s}
P T >s}
{
,利用已知分布函数即可求解;第二问首先对第一
社
问的分布函数求导获得概率密度函数,再构造对数似然函 数,关 于θ 求 导 后,令 导 数 等 于 零,得θ
的最大似然估计值 . 版 t t
P{
(Ⅰ )P {
T >t}=1-P {
T >s+t|T >s}=
P{
T ≤t}=1-F(
T >s+t,
t)=1- (
T >s} P {
1-e
T >s+t} e
θ
出 m
-( )
m
-( )
)=e θ
s+tm
-(θ )
(
t >0)
P{
T >s}
=
s
P{ T >s}
s+t m
m (
( ) )
电
= (s )m
e
- θ
(
s >0,
t >0)
民
-
=e
θ θ
(Ⅱ )由 F'(
t)=f(
t)可得概率密度函数
f(
mt · - θ
t)= θ
m-1
m
0,
e
t m
邮 , t ≥0,
t <0.
对数似然函数为 人 n
mti - -(θi )m
n m 1 t
m (
t1t2 …tn )-
n - m ·∑ti
m 1
1
n
m
n[
l L( n ∏f(
θ)]=l ti , n ∏
θ) =l m e =l
n ·e i=1
θ
θ θ
mn
i=1 i=1
2020
-第23页（共 24 页）
1
n
nm + (
=nl m -1)
ln( nθ - m · ∑ti
t1t2 …tn )- mnl
m
θ i=1
n[
dl L(θ)]
mn 1
n
+ m m+1 · ∑ti =0
m
求导得 =-
d
θ θ θ
1
n
即 m ∑tim =n,则解得θ 的最大似然估计值为^
θ i=1
i=1
θ=
m
1
n∑
n 社
ti .
m
版 i=1
出
此题第一问是概率计算基本题型,考生应掌握分布函数与概率计算的关系;第二 问 是 在 第
一问的基础上求出对应概率密度函数,按照最大似然估计的解题步骤即可求解 .值 得 考 生 注 意
电
的是此题构造对数似然函数及求导时,对计算能力有一定要求,整理化简时要确保正确性 .
邮
民
人
社
版
出
电
民
邮
人
2020
-第24页（共 24 页）2021 年数学一原题
2021年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题
一、选择题
(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)
1、函数 在x=0处______
A．连续且取得极大值 B．连续且取得极小值
C．可导且导数为0 D．可导且导数不为0
2、设函数f(x，y)可微，且f(x+1，ex)=x(x+1)2，f(x，x2)=2x2lnx，则df(1，
1)=______
A．dx+dy B．dx-dy
C．dy D．-dy
3、设函数 在x=0处的3次泰勒多项式为ax+bx2+cx3，则______
A．a=1，b=0，
B．a=1，b=0，
C．a=-1，b=-1，
D．a=-1，b=-1，
4、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则
A． B．
C． D．
5、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2+x3)2-(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指
数依次为______
A．2，0 B．1，1
C．2，1 D．1，2
6、已知 ，记β1=α1，β2=α2-kβ1，β3=α3-l1β1-l2β2若β1，β2，β3两
两正交，则l1，l2依次为______
A．
B．
C．
D．
7、设A，B为n阶实矩阵，下列不成立的是______
A．
B．
C．
D．
8、设A，B为随机事件，且0＜PB.＜1，下列命题中不成立的是______
A．若P(A|B.=PA.，则
B．若P(A|B.＞PA.，则
C．若 ，则P(A|B.＞PA.
D．若 ，则PA.＞PB.
9、设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为来自总体 的简单随机样本，
令 ，则______
A．
B．
C．
D．
10、设X1，X2，…，X16是来自总体N(μ，4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:μ≤10，
H1:μ＞10．Φ(x)表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域为 ，其中
，则μ=11.5时，该检验犯第二类错误的概率为______
A．1-Φ(0.5) B．1-Φ(1)
C．1-Φ(1.5) D．1-Φ(2)
二、填空题
11、
12、设函数y=y(x)由参数方程 确定，则
13、欧拉方程x2y"+xy'-4y=0满足条件y(1)=1，y'(1)=2的解为y=______．
14、设∑为空间区域{(x，y，z)|x2+4y2≤4，0≤z≤2}表面的外侧，则曲面积分
15、设A=(aij)为3阶矩阵，Aij为代数余子式，若A的每行元素之和均为2，且|A|=3，则
A11+A21+A31=______．
16、甲、乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放
入乙盒中，再从乙盒中任取一球．令X，Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X
与Y的相关系数为______．
三、解答题
本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、求极限
18、设 ，求级数 的收敛域及和函数．
19、已知曲线 求C上的点到xOy坐标面距离的最大值．
20、设 是有界单连通闭区域， 取得最大值的积分区域记为D1．
(1)求I(D1)的值；
(2)计算 ，其中 是D1的正向边界．
21、已知
(1)求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；
(2)求正定矩阵C，使得C2=(a+3)E-A，E为3阶单位矩阵．
22、在区间(0，2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为X，较长的一
段长度记为Y，令
(1)求X的概率密度；
(2)求Z的概率密度；
(3)求2022 年数学一原题
2022年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题
一、选择题
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1、己知f(x)满足 ，则______
A．f(1)=0． B．
C．f'(1)=1． D．
2、己知 ，且f(u)可导， ，则______
A． B．
C． D．f(1)=0，f'(1)=1．
3、设有数列 ，其中xn满足 ，则______
A．若 存在，则 存在．
B．若 存在，则 存在．
C．若 存在，则 存在，但 不一定存在．
D．若 存在，则 存在，但 不一定存在．
4、已知 则______
A．I1＜I2＜I3．
B．I2＜I1＜I3．
C．I1＜I3＜I2．
D．I3＜I2＜I1．
5、下列4个条件中，3阶矩阵A可以相似对角化的一个充分但不必要条件为______
A．A有3个不相等的特征值．
B．A有3个线性无关的特征向量．
C．A有3个两两线性无关的特征向量．
D．A的属于不同特征值的特征向量相互正交．
6、设A，B均为n阶矩阵，若方程组Ax=0与Bx=0同解，则______
A．方程组 只有零解．
B．方程组 只有零解．
C．方程组 同解．
D．方程组 同解．
7、设向量组 ，若向量组α1，α2，α3与α1，α2，α4等价，则λ可取
______
A．{0，1}．
B．{λ|λ∈R，λ≠-2}．
C．{λ|λ∈R，λ≠-1，λ≠-2}.
D．{λ|λ∈R，λ≠-1}．
8、设随机变量X～U(0，3)，随机变量Y，服从参数为2的泊松分布，且X与Y协方差为-1，
则D(2X-y+1)=______
A．1． B．5． C．9． D．12．
9、设随机变量X1，X2，X3，X4独立同分布，且X1的4阶矩存在，设 ，k=1，2，
3，4，则由切比雪夫不等式，对于任意的ε＞0，有
A． B． C． D．
10、设随机变量X～N(0，1)，在X=x条件下随机变量Y～N(x，1)，则X与Y的相关系数
为______
A． B． C． D．
二、填空题
11、函数f(x，y)=x2+2y2在点(0，1)的最大方向导数为______．
12、
13、当x≥0，y≥0时，x2+y2≤kex+y恒成立，则k的取值范围是______．
14、已知级数 的收敛域为(a，+∞)，则a=______．
15、已知矩阵A和E-A可逆，其中E为单位矩阵，若矩阵B满足(E-(E-A.-1)B=A，则
B-A=______．
16、设A，B，C随机事件，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立，若
，则P(B∪C|A∪B∪C.=______．
三、解答题
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、设函数y(x)是微分方程 的满足y(1)=3的解，求曲线y=y(x)的渐近线．
18、已知平面区域
19、L是曲面∑：4x2+y2+z2=1，x≥0，y≥0，z≥0的边界，曲面方向朝上，己知曲线L的
方向和曲面的方向符合右手法则，求
20、设f(x)在(-∞，+∞)有二阶连续导数，证明：f"(x)≥o的充要条件为对不同实数a，
b
己知二次型
21、写出f(x1，x2，x3)对应的矩阵；
22、求正交变换x=Qy，将f(x1，x2，x3)化为标准形；
23、求f(x1，x2，x3)=0的解．
24、设X1，X2，…，Xn来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，设Y1，Y2，…，Ym
来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中θ(θ＞0)为未知
数，利用样本X1，X2，…，Xn，Y1，Y2，…，Ym，求θ的最大似然估计量 ，并求 ．2023 年数学一原题
2023年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题
一、选择题
1、曲线 的渐近线方程为______。
A．y=x+e B．y=x+1/e
C．y=x D．y=x-1/e
2、若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-∞，+∞)上有界，则______。
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＞0
C．a=0，b＞0 D．a=0，b＜0
3、设函数y=f(x)由 确定，则______。
A．f(x)连续，f'(0)不存在
B．f'(0)存在，f'(x)在x=0处不连续
C．f'(x)连续，f"(0)不存在
D．f"(0)存在，f"(x)在x=0处不连续
4、已知an＜bn(n=1，2，…)，若级数 与 均收敛，则“级数 绝对收敛”是“
绝对收敛”的______。
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5、已知n阶矩阵A，B，C满足ABC=O，E为n阶单位矩阵，记矩阵 ， ，
的秩分别为γ1，γ2，γ3，则______。
A．γ1≤γ2≤γ3
B．γ1≤γ3≤γ2
C．γ3≤γ1≤γ2
D．γ2≤γ1≤γ3
6、下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是______。
A． B． C． D．
7、已知向量 ， ， ， ，若γ既可由α1，α2线性表示，也可由β1，β2
线性表示，则γ=______。
A． B． C． D．
8、设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则E(|X-EX|)=______。
A．1/e B．1/2 C．2/e D．1
9、设X1，X2，…，Xn为来自总体N(μ1，σ2)的简单随机样本，Y1，Y2，…，Ym为来自总体
N(μ2，2σ2)的简单随机样本，且两样本相互独立，记 ， ， ，
，则______。
A．
B．
C．
D．
10、设X1，X2为来自总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中σ(σ＞0)是未知参数，若
为σ的无偏估计，则a=______。
A． B． C． D．
二、填空题
11、当x→0时，函数f(x)=ax+bx2+ln(1+x)与 是等价无穷小，则
ab=______。
12、曲面z=x+2y+ln(1+x2+y2)在点(0，0，0)处的切平面方程为______。
13、设f(x)为周期为2的周期函数，且f(x)=1-x，x∈[0，1]，若 ，
则 =______。
14、设连续函数f(x)满足f(x+2)-f(x)=x， ，则 =______。
15、已知向量 ， ， ， ，γ=k1α1+k2α2+k3α3，若γTαi=βTαi(i=1，
2，3)，则k12+k22+k32=______。
16、设随机变量X与Y相互独立，且X～B(1，1/3)，Y～B(2，1/2)则P{X=Y}=______。
三、解答题
(70分)
设曲线y=y(x)(x＞0)经过点(1，2)，该曲线上任一点P(x，y)到y轴的距离等于该点处
的切线在y轴上的截距。
17、求y(x)。
18、求函数 在(0，+∞)上的最大值。
19、求函数f(x，y)=(y-x2)(y-x3)的极值。
20、设空间有界区域Ω中，柱面x2+y2=1与平面z=0和x+z=1围成，Σ为Ω边界的外侧，计
算曲面积分
设函数f(x)在[-a，a]上具有2阶连续导数，证明：
21、若f(x)=0，则存在ξ∈(-a，a)，使得 。
22、若f(x)在(-a，a)内取得极值，则存在η∈(-a，a)，使得 。
已知二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x32+2x1x2-2x1x3，g(y1，y2，
y3)=y12+y22+y32+2y2y3。
23、求可逆变换x=Py，将f(x1，x2，x3)化为g(y1，y2，y3)。
24、是否存在正交变换x=Qy，将f(x1，x2，x3)化为g(y1，y2，y3)。
设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
25、求X与Y的方差。
26、求X与Y是否相互独立。
27、求Z=X2+Y2的概率密度。2024 年数学一原题
2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫
2024 年全国硕士研究生入学统一考试试题
数学一试题
一、选择题：1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
x sin x
【1】已知函数 f ( x) = e dt ， g ( x) =
2
cos t
et dt ，则
0 0
（A） f ( x) 为奇函数， g ( x) 为偶函数. （B） f ( x) 为偶函数， g ( x) 为奇函数.
（C） f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数. （D） f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数.
【答案】（C）
【2】设 P = P( x, y, z ), Q = Q( x, y, z ) 均为连续函数， 为曲面 z = 1 − x − y
2 2
( x 0, y 0) 的上侧，则 Pdydz + Qdzdx =
x y x y
（A） z P + z Q dxdy
（B） − z P + z Q dxdy
x y x y
（C） z P − z Q dxdy
（D） − z P − z Q dxdy
【答案】（A）
【3】已知幂函数 an x n 的和函数为 ln(2 + x) ，则 na2n =
n =0 n =0
1 1 1 1
（A） − . （B） − . （C） . （D） .
6 3 6 3
【答案】
（A）
【4】设函数 f ( x) 在区间 (−1,1) 内有定义， lim f ( x) = 0 ，则
x →0
f ( x)
（A）当 lim = m 时， f (0) = m .
x →0
x
f ( x)
（B）当 f (0) = m 时， lim =m.
x →0 x
（C）当 lim f ( x ) = m 时， f (0) = m .
x →0
（D）当 f (0) = m 时， lim f ( x ) = m .
x →0
1
2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫
【答案】（B）
【5】在空间直角坐标系 O − xyz 中，三张平面 i ：ai x + bi y + ci z = di ( i = 1, 2,3) 位置关系如图
α1 β1
所示, 记 αi = ( ai , bi , ci ) , βi = ( ai , bi , ci , di ) ,若 r α2 = m , r β2 = n , 则
α β
3 3
（A） m = 1, n = 2 ．
（B） m = n = 2 ．
（C） m = 2 , n = 3 ．
（D） m = n = 3 ．
【答案】
（B）
a 1 1
1 1 a
【6】设向量 1 = ， 2 = ， 3 = ，若 1 ， 2 ， 3 线性相关，且其中任意
−1 b −1
1 a 1
两个向量均线性无关，则
(A) a = 1, b −1 (B) a = 1, b = −1
(C) a −2, b = 2 (D) a = −2, b = 2
【答案】
（D）
【7】设 A 是秩为 2 的 3 阶矩阵, α 是满足 Aα =0 的非零向量，若对满足 β α = 0 的任意向
量 β ，均有 Aβ = β ，则
3 3
（A） A 的迹为 2. （B） A 的迹为 5.
5 5
（C） A 的迹为 7. （D） A 的迹为 9.
【答案】（A）
【8】设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 是服从 N ( 0, 2 ) 的正态分布，Y 是服从 N ( −2, 2 ) 的
正态分布，若 P 2 X + Y a = P X Y ，则 a =
（A） −2 − 10 （B） −2 + 10
（C） −2 − 6 （D） −2 + 6
【答案】
（B）
2
2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫
2 (1 − x ) , 0 x 1
【9】设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = ，在 X = x 的条件下，Y 在区
0, 其他
间 ( x,1) 上服从均匀分布，则cov(X, Y) =
1 1
（A） − （B） −
36 72
1 1
（C） （D）
72 36
【答案】
（D）
【10】设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从参数为 λ 的指数分布，令 Z = X − Y ，则下
列与 Z 服从同一分布的是
X +Y
（A） X + Y （B）
2
（C） 2 X （D） X
【答案】
（D）
二、填空题：11～16 小题,每小题 5 分,共 30 分．
【11】若 lim
(1 + ax ) 2 sin x
−1
= 6 ，则 a = .
x →0 3
x
【答案】6
【12】设 z = f (u, v) 有二阶连续导数，且 df （1,1）= 3du + 4dv ，若 y = f (cos x,1 + x ) ，则
2
d2 y
= .
dx 2 x = 0
【答案】5
a0
【13】若 函 数 f ( x) = x + 1 ， 若 f ( x) = + an cos nx ， x [0, ] ， 则 极 限
2 n =1
lim n 2 sin a2 n −1 = .
n →
1
【答案】 −
1
【14】微分方程 y = ，满足条件 y (1) = 0 的解为 .
( x + y )2
【答案】 x = tan( y + )− y.
4
3
2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫
a +1 a x1 y1
【15】设实矩阵 A = ，若对任意实向量 α = x , β = y ，且满足
a a 2 2
(α Aβ )2 α Aαβ Aβ 都成立，则 a 的取值范围 .
【答案】 a 0.
【16】随机试验每次成功的概率为 p ，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件
4
下全部成功的概率为 ，则 p = .
13
2
【答案】
3
三、解答题：17～22 小题,共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17】（本题满分 10 分）
x
已知平面区域 D = {( x, y ) 1 − y x 1, −1 y 1} ,计算 x + y d .
2
2 2
D
【答案】 2 + ln(1 + 2) − 2
【18】（本题满分 12 分）
设 f ( x, y ) = x + y − ( x + y ) + 3 ，曲面 z = f ( x, y) 在 (1,1,1) 处的切平面为 T ， T 与
3 3 2
三个坐标面所围有界区域在 xoy 面的投影为 D .
（1）求 T 的方程
（2）求 f ( x, y ) 在 D 上的最大值和最小值
【答案】切平面 x + y + z = 3 ；最大值 21 ，最小值
17 .
27
【19】（本题满分 12 分）
设 f ( x ) 二阶可导， f (0) = f (0), f ( x ) 1 ，证：
x(1 − x )
（1） f ( x ) − f (0)(1 − x ) − f (1) x .
2
1 f (0) + f (1) 1
（2） f ( x)dx −
0 2
12
（1）分别在 x = 0 及 x = 1 处使用泰勒公式展开.
【答案】
（2）对于（1）结果两边同时积分.
4
2024 全国硕士研究生入学统一考试数学一答案 新浪微博@考研数学周洋鑫
【20】（本题满分 12 分）
已知有向曲线 L 为球面 x + y + z = 2 x 与平面 2 x − z − 1 = 0 的交线从 z 轴正向往 z
2 2 2
轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
(6 xyz − yz )dx + 2 x zdy + xyzdz
2 2
L
4
【答案】
5 5
【21】（本题满分 12 分）
xn = −2 xn −1 + 2 zn −1
已知数列 {xn },{ yn },{zn } 满足 x0 = −1, y0 = 0, z0 = 2, 且 yn = −2 yn −1 − 2 zn −1 ，
z = −6 x − 3 y + 3z
n n −1 n −1 n −1
xn
记 n = yn ，写出满足 n = A n −1 的矩阵 A ，并求 A 及 xn , yn , zn (n = 1, 2, ).
n
z
n
−2 0 2
【答案】 A = 0 −2 −2 ，
−6 −3 3
−4 + (−1) n +1 2n −2 + (−1) n +1 2n 2
An = 4 + (−1) n 2n +1 2 + (−1) 2 n n +1
−2 ，
−6 −3 3
xn = 8 + (−2)n , yn = −8 + (−2) n +1 , zn = 12.
【22】（本题满分 12 分）
设 总 体 X ~ U (0, ) ， 未 知 ， X 1 , X 2 Xn 为 简 单 随 机 样 本 ，
X ( n ) = max( X 1 , X 2 X n ) ， Tc = cX ( n ) .
（1）求 c 时，使得 Tc 为 的无偏估计.
（2）记 h(c) = E (Tc − ) 2 ，求 c 使得 h(c) 取最小值.
n +1 n+2
【答案】（1） c = ;（2） c = .
n n +1
5最后更新：2026-07-29 · 考研冲刺君团队整理 · 内容持续维护